2007年珠海市高中数学竞赛（高一卷）
注意：可以使用计算器，但不得相互借用。监考老师不回答任何与内容有关的问题． 一、选择题（每题6分共36分，请将正确答案的标号填入下面的表格中） 题号 答案 1 B 2 D 3 B 4 A 5 A 6 C 1．集合A={0,1,2,3}，集合B={1，2}，则从A到B，且以B为值域的函数有（ ）个 （A）13 （B）14 （C）15 （D）16
2 已知定义域为R的函数f(x)在(8，??)上为减函数，且函数y?f(x?8)为偶函数，则（ ）
（A）f(6)?f(7)
（B）f(6)?f(9)
（C）f(7)?f(9)
（D）f(7)?f(10)
3．函数f(x)?log2(ax2?ax?1)的定义域是R,则实数a的范围是（ ） （A）(0,4) （B） [0,4)
（C）(??,0)?(4,??) （D）(??,0]?[4,?) 4．已知1?a?2,则下各数中,最大的是
(A) log2a (B) log2(log2a) (C)(log2a)2 (D)log2bcaa
?1??1?5．设a，b，c均为正数，且2?log1a，???log1b，???log2c．则（ ）
?2??2?22Ａ．a?b?c 6．记f1(a)?1?
Ｂ．c?b?a
Ｃ．c?a?b
Ｄ．b?a?c
120071)＝（ ） ，fk?1(a)?1?，k?1,2,3,?，则f2008(a2008fk(a) (A)
2008200711 (B) (C)? (D) ? 2007200820072008121x? 33二、填空题（每题6分共54分）
27．已知f(x)?2f(1?x)?x?x，则f(x)? .
bb?为奇函数，常数b?0，则常数a? ．-3 x?3x?a1?x9. 已知函数f(x)是奇函数，当x?0时，f(x)??3|x?4|?2；则当x?0时，
8. 若函数f(x)?f(x)?_____________________.3|?x?4|?2x?1
10.若方程|2x?4?x|?a恰有三个不同的实数解，则常数a= .5
211. 将函数f(x)=log2x的图象C1沿ｘ轴向左平移2个单位得到C2，C2关于点(?2,0)对称的图象为C3，若C3对应的函数为g(x)，则函数g(x)=_______________.y??log2(?x?2) 12. 已知f(x)=??x?5(x?6)则f(f(?3))=___________.1
f(x?2)(x?6)?13. 二次函数f(x) 满足 f(2+x)= f(2－x),又f(x)在[0,2]上是增函数，且f(a)≥ f(0), 那么实数 a 的取值范围是_______________.[0,4]
1?x214. 函数y?的值域是_______________.(?1,1] 21?x15.已知定义在R上的函数f(x)满足:f(x)?f(?x)?0,当x?0时，有f()??f(x).请
1x?0,x?0?写出这样的函数的一个表达式: ______________________．f(x)??1x?,x?0?x?（答案不唯一）
三、解答题(共60分)
16.（15分）解方程：1?log2(x?1)?log2(x2?1)． 解：因为x?1?0,x?1?0，所以x?1 3分 由原方程可得：log22(x?1)?log2(x2?1) 5分 所以x?2x?3?0 8分
解得：x1?3，x2??1（不合题意，舍去） 12分 经检验可知，x?3是原方程的解。 15分
17.（15分）已知定义在R上的函数f(x)满足：对任意实数x，都有
22f[f(x)?x2?x]?f(x)?x2?x.设有且只有一个实数x0，使得f(x0)?x0，求函数
f(x)的解析式.
2解：设u?f(x)?x?x，由题意知，f(u)?u，已知有且只有一个实数x0，使得
f(x0)?x0，所以u?x0,f(x)?x2?x?x0 5分
f(x0)?x0?x0?x0，
22 x0?x0， 8分
x0?0或x0?1 10分
当x0?0时，f(x)?x2?x，f(x)?x的解有两个，不合题意，舍去；12分 当x0?1时，f(x)?x2?x?1，f(x)?x的解只有一个；14分 所以，f(x)?x2?x?1 15分
18．（15分）已知f(x)是定义域为R 且恒不为零的函数，对于任意的实数x,y 都满足：
f(x)?f(y)?f(x?y)。（1）求f(0)的值；（2）设当x< 0 时，都有 f(x)?f(0) ，判断
函数f(x)在(??,??) 上的单调性，并加以证明.
解：（1）令x?y?0，则有f(0)?f(0)?f(0?0)， 2分
f(0)?0或f(0)?1，4分
因为f(x)是定义域为R 且恒不为零的函数，所以f(0)?1 5分
（2）设x1?x2，则x1?x2?0,f(x1?x2)?f(0)?1，7分
又对任意的实数x，f(x)?0 ，所以f(x)?f(?)?f()?f()?0 10分
x2x2x2x2f(x1)?f(x2)?f(x1?x2?x2)?f(x2)
=f(x1?x2)f(x2)?f(x2)?f(x2)[f(x1?x2)?1] ?0 14分
所以，f(x)在实数域上是减函数。 15分
219.（15分）设f(x)?3ax?2bx?c,若a?b?c?0,f(0)?0,f(1)?0.
求证:（1）a?0且?2?b??1；（2）方程f(x)?0在(0,1)内有两个实根. a证明：（1）因为f(0)?c?0,f(1)?3a?2b?c?0，2分
且a?b?c?0，
所以a?b?0，3分 2a?b?0 4分
所以a?0 5分 ?2a?b??a， 6分
b??1 7分 a（2）因为a?b?c?0，所以b??a?c，
所以?2???(2b)2?4?3a?c?4[(a?c)2?ac]?0，9分
又a?0，对称轴x??所以f(?2bb12???(,)，11分 6a3a33b)?0， 13分 3abb)和(?,1)中各有一个实根，14分 3a3a已知f(0)?0，f(1)?0，所以在(0,?所以，方程f(x)?0在(0,1)内有两个实根. 15分