离散性随机变量的方差
双基再现
1. C 解析：Dξ=10×0.02×0.98=0.196. 2. B 解析：DX=100×0.2×(1-0.2)=16,所以D(4X+3)=16DX=256 3. A 解析：
Eξ=-1×0.5+0×0.3+1×0.2=-0.3，
Dξ=(-1+0.3)×0.5+(0+0.3)×0.3+(1+0.3)×0.2=0.61
D(2ξ+1)=4Dξ=2.44
4. A 解析：Eξ=np=7，Dξ=np（1－p）=6，
所以p=
172
2
2
算。这里求解方差用了方差的一个性质，同学们可作了解，当然也可按原始公式计算. 8. 解：由分布列得
E?A=110×0.1+120×0.2+125×0.4+130×
0.1+135×0.2=125，
E?B=100×0．1+115×0.2+125×0.4十130×
0.1+145×0.2=125． 所以E?A=E?B，又
D?A=(110-125)×0.1+(120-125) ×
2
2
0.2+(130-125)×0.1+(135-125)×0.2=50，
D?B=(100-125)×0.1+(110-125)×
2
2
22
.
0.2+(130-125)×0.1+(145-125)×0.2=165． 所以 D?A 5. 均值；平均程度；小 解析：了解方差、标准差的意义 6. 12名师点金：本题目改换了背景，变为产品质量的比 ;5 解析：成功次数ξ～B(100，p),所以D p?1?p2较。此类题目先计算期望值，比较平均水平；若均值相等，在考查方差，方差越小数据越集中，稳定性越好。至于孰优孰劣，要根据具体问题中我们对随机变量的要求来判断。 ξ=100p(1-p)≤100×（ 12）=25， 2 当且仅当p=1-p即p=大，其最大值为5. 变式活学 时，成功次数的标准差最 实践演练 9. 解：（1）ξ的分布列为： ξ P 0 0.4 1 0.6 7. 解：设Ai={部件i需要调整}（i=1，2，3），则P（A1）=0.1，P（A2）=0.2，P（A3）=0.3. 由题意，ξ有四个可能值0，1，2，3.由于A1，A2，A3相互独立，可见 P（ξ=0）=P（A1A2A3）=0.9×0.8×0.7=0.504； P（ξ=1）=P（A1A2A3则Eξ＝0×0.4＋1×0.6＝0.6 Dξ＝（0－0.6）2×0.4＋（1－0.6）2×0.6 ＝0.24 （2）η服从二项分布即η～B（5，0.6） ∴Eη＝nP＝5×0.6＝3 Dη＝5×0.6×0.4＝1.2 10. 解： Eξ1=0×0.7+1×0.2+2×0.06+3×0.04=0.44, Eξ2=0×0.8+1×0.06+2×0.04+3×0.10=0.44. 它们的期望相同，再比较它们的方差 ）+P（A1A2A3）+P（A1A2A3） =0.1×0.8×0.7+0.9×0.2×0.7+0.9× 0.8×0.3=0.398； P（ξ=2）=P（A1 A2A3）+P（A1A2A3）+P（A1A2 A3） =0.1×0.2×0.7+0.1×0.8×0.3+0.9× 0.2×0.3=0.092； P（ξ=3）=P（A1A2A3）=0.1×0.2×0.3=0.006. ∴Eξ=1×0.398+2×0.092+3×0.006=0.6， Dξ=Eξ－（Eξ）=1×0.398+4×0.092+9×0.006－0.62=0.82－0.36=0.46. 名师点金:本题与原题比较改变了题目的背景，增加了概率的求解。求解数学期望或方差这类问题，一定要先求解随机变量的概率分布，在利用公式计 （2-0.44）×0.04+（3-0.44）×0.10=0.9264. 2 2 2 2 Dξ1=（0-0.44）×0.7+（1-0.44）×0.2+（2-0.44）×0.06+（3-0.44）×0.04=0.6064, Dξ2=（0-0.44）×0.8+（1-0.44）×0.06+ 2 2 2 2 22 ∴Dξ1< Dξ2 故A机床加工较稳定、质量较好. 用心 爱心 专心 B卷（课外提升训练） 离散型随机变量的期望与方差 理解整合 1. B 解析：只有①②. 2. C 解析：Eε= 715〈法二〉设取出黄球个数?，则?的分布列为 ? 1152150 1 2 +2×= 35,所以 P 310 35 110 Eη=2Eε+3=. 3313. B 解析：由题意，使用的终端个数服从二项分 布B(n,p) . 4. C 解析：由题意， 23于是 E（?）=0×10+1×5+2×10=0.8 故知红球个数的数学期望为1.2 8. 甲 解析：设甲、乙两人经营获利分别为X、Y，则EX=2×0.4+3×0.3-1×0.3=1.4 EY=1×0.6+4×0.2-2×0.2=1, 从而EX>EY,甲的平均获利更多. 9. 解：(Ⅰ) ?的可能取值分别为3, 2, 1, 0. a+ 13b= 43, 23(a- 4353)+ 2 13(b- 43)= 2 29， 解得a=1,b=2或a=,b= 23 又a 5. C 解析：每一次抛两枚硬币，出现不同面的概 率为 12 P(? = 3) =2?2?2?8 35575（即A队连胜3场） ，10次独立重复试验中，X～B(n,p), 12P(? = 2) =2?2?3?2?3?2?1?2?2?28 35535535575 所以DX=10×× 12= 52. （即A队共胜2场） 6. 0.49 解析：由随机变量分布列性质可得 p?1?15?310?12P(? = 1) =2?3?3?1?2?3?1?3?2?30?2 355355355755.又 ?x?310?1.1（即A队恰胜1场） E??0?15?1?12P(? = 0) =1?3?3?9?3 ， 3557525 （即A队连负3场） 875252875325解得x=2，可得 D??(0?1.1)?2根据题意知 ? + ? = 3，所以 215?(1?1.1)?12?(2?1.1)?2310?0.49P???0??P???3??P???2??P???1??,P???1??P???2??,. 7. 1.2 解析：〈法一〉从5个球中取出2个球，出现红球个数?的分布列为 ? ,P???3??P???0?? (Ⅱ) E? 8282?2?75?1?5?0?3?22 ； =3?7525150 C2C52211 C3?C2C5212 C3C522 因为? + ? = 3， 所以E? = 3 – E? =23 15P 拓展创新 10．nm即 ? 解析：每个大肠杆菌在这1升水中的概1m0 0.1 1 0.6 2 率为0.3 ，事件“ξ=k”发生，即n个大肠杆菌P 中恰有k个在此升水中. ∴ ξ～B(n,1m)，故 Eξ =n×1m=nm ?E??0?0.1?1?0.6?2?0.3?1.2 用心 爱心 专心 3232a?11. 所以 解析：由题意得3a+2b=2， 13b的距离d= 1k2,d的分布列为 =（3a+2b）（ 2032a?20313b?1） 323 =+ ab?4ba≥+24= 12.解：若先回答问题A,设获得奖金为X，X的分布 列如下： X 0 P 122a 135a 16 所以Ed= 13?27 + 12?27+ 23?27+1?17= 47 15．解：设ξ为盈利数，其概率分布为： = 32 所以EX=0× 12+2a× 13+5a× 16 且Eξ＝a－p2）＋（ap1＋（a－＝a－－10000p2 要盈利，至少需使ξ的数学期望大于零， 故a＞30000p1＋10000p2 16. 解:（1）ε服从两点分布，成功概率为p. 所以Dε=p（1－p）≤（ p?1?p2 若先回答问题A,设获得奖金为Y，Y的分布列如下： 所以EY=0× 16Y P 0 163a 165a 16（1－p1－30000）10000）p230000p1 +3a× 16+5a× 16= 43 从而EX>EY,所以应先回答问题A. 13. 解：设正面的次数是η， 由题意η服从二项分布B(n，0.5)， 概率分布为 P(η=k)=Cnk(0.5)n，k=0，l，??，n， 且Eξ=0.5n，Dξ=0.25n 而反面次数为n－η，从而 ξ=η－(n－η)=2η－n, 于是，ξ的概率分布为 P(ξ=2η－n)＝P(η=k)= Cnk(0.5)n， k=0，1，??，n； 即P(ξ=k)=P(η= n?k2n?k）= 2 14， 14即事件在一次试验中发生的次数的方差不超过 2D??1E?2(p?p)?1p1p2 (2) ==2－（2p+ 1p）， ∵0 13≥22. 当且仅当2p= 171p22d 1212 2312 1 ，即 P (0.5)， n17 p= 时， )=Cn2k=－n，－n+2，－n+4，??，n 故Eξ=E(2η－n)=2Eξ－n=2×0.5n－n=0， Dξ=D(2η－n)=22Dξ=4×0.25n＝n 2D??1E?取得最大值2－22. (3)ξ～B(n,p),所以Dξ=np(1-p) ≤n（ p?1?p2综合探究 14. 47）= n42 n4 解析：坐标原点（0，0）到直线l：y=kx+1当且仅当p=1-p时取得最大值 用心 爱心 专心 17. 解:甲保护区违规次数X的期望与方差为 EX=0×0.3+1×0.3+2×0.2+3×0.2=1.3 DX=(0-1.3)×0.3+(1-1.3)×0.3+(2-1.3)×0.2+(3-1.3)×0.2 =1.21 乙保护区违规次数Y的期望与方差为 EY=0×0.1+1×0.5+2×0.4=1.3 DX=(0-1.3)×0.1+(1-1.3)×0.5+(2-1.3)×0.4 =0.41 从而EX=EY,DX>DY,所以两个保护区内每个季度发生的违规事件的平均次数相同，但甲保护区的违规事件次数相对分散和波动，乙保护区的违规事件次数更集中和稳定. 18. 解：ξ的概率分布为 ξ 1 22222222（2）?的可能取值为0，1，2． 若该批产品共100件，由（1）知其二等品有 100?0.2?20件，故 P(??0)?C80C100122?316495． P(??1)?C80C20C21001?160495． P(??2)?C20C10022?19495． 所以?的分布列为 2 43 6? n 2n? P 0 1 2 31649516049519495P n(1?n)n(1?n)n(n?1)? n(n?1) +2×4n(1?n) +3×6n(n?1) +?20. （I）基本事件总数为6?6?36， 若使方程有实根，则??b?4c?0，即 2Eξ=1×+n×2n(1?n)2nn(n?1)2 2n?13b?2c。 222= n(1?n)（1+2+3+?+n）=2 当c?1时，b?2,3,4,5,6； 当c?2时，b?3,4,5,6； 当c?3时，b?4,5,6； 当c?4时，b?4,5,6； 当c?5时，b?5,6； 当c?6时，b?5,6, 目标事件个数为5?4?3?3?2?2?19, 因此方程x?bx?c?0 有实根的概率为 2高考模拟 19．解：（1）记A0表示事件“取出的2件产品中无二等品”，A1表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”． 则A0，A1互斥，且A?A0?A1，故 P(A)?P(A0?A1) ?P(A0)?P(A1) ?(1?p)?C2p(1?p) 211936?1?p 2. 于是0.96?1?p． 解得p1?0.2，p2??0.2（舍去）． 2(II)由题意知，??0,1,2，则 P(??0)?1736， 用心 爱心 专心 P(??1)?236?118,P(??2)?1736， 程ax?bx?c?0 有实根” 为事件N，则 2故?的分布列为 P(M)?0 1 2 1136，P(MN)?736. ， ? P P(NM)?1736 1736P(MN)P(M)?711118?1?118 17361736 ?的数学期望E??0??2??1. (III)记“先后两次出现的点数中有5”为事件M，“方 A卷（课堂针对训练） 正态分布 双基再现 1. B 解析：对照正态密度函数 12???(x??)2?22线的对称性以及概率的意义，使题目更具实际意义.另外，还可将问题变为（44，76）、（68，76）等区间的探讨. 易知B正确，此时?=0， 9. 解：因为P(??3??Y???3?)?0.9974，又Y～N(1000,30), 所以Y在（910，1090）内取值的概率为99.74％，故最低寿命应控制在910小时以上. 122 f(x)?e?=1. 2. D 解析：所以D(?ξ=2， ξ)= 14 ,D(ξ)=1 名师点金:本变式题改变了背景情景和题目问法，考察逆向思维方式，由求解某区间内概率转变为由概率确定区间.注意记住正态分布(???,???)， (??2?,??2?)，(??3?,??3?)区间内的概 3. C 解析：借助图象理解更容易 4. B 解析：N(0,1)的概率密度函数为 12??x2率. （x?R），满足偶函数定义. f(x)?e2实践演练 10. 解：由ξ～N(30，0.8)可知ξ在（30-3×0.8， 30+3×0.8）即（27.6，32.4）之外取值的概率只有0.0026，而27.5?（27.6，32.4），说明在一次试验中出现了几乎不可能发生的小概率事件，据此认为这批砖不合格。 11. 解：误差X是随机的正负数，是众多的、互不 相干的、不分主次的偶然因素作用之和，它服从正态分布N(0,4).所以 P(|X|?4)?P(?4?X?4) ?P(??2??X???2?) ?0.9544 2 5. C 解析：根据3?原则，在(8-3×0.15,8+3×0.15)即（7.55，8.45）之外时为异常. 6. P(a ?ba??,?(x)dx 解析：了解正态分布的定义. 7. 20 解析：由正态曲线关于x=?对称可知. 变式活学 8. 解：由题意?=60，?=8，因为 P(????X????)=0.6826, 所以P(52?X?68)?0.6826， 又此正态曲线关于x=60对称，所以 P(60?X?68)= 12P(52?X?68)?0.3413 故所求事件的概率为 P?1?P(|X|?4)?0.13 3从而估计在60分到68分之间约3413人. 名师点金:本变式题延伸了原题目中的问题，将原题中单纯的(???,???)的概率考察结合了正态曲 B卷（课外提升训练） 正态分布 用心 爱心 专心