第一章 光的干涉 课后习题解答
12d0n2cosi2?(j?)?
2其中：n2=1、i2=900，可推出：
Δd = λ/2 = 2.945×10-5cm
从图中可得:θ≈sinθ=Δd/Δx ≈ 30.4\
14 调节一台迈克尔逊干涉仪,使其用波长为500nm的扩展光源照明时,出现同心圆环条纹.若要使圆环中心相继出现1000条圆环条纹,则必须将移动一臂多远的距离?若中心是亮的,试计算第一暗环的角半径。
1解：由：?d?N? ，已知：λ= 500nm、N = 1000
2计算得到迈克尔逊干涉仪一臂移动的距离：Δd = 0.25mm
(2) 因花样中心是亮的，设其干涉级数为j，相应第一暗环的干涉级数同时为j，即有：
第j级亮环： 2d0?j?
1第j级暗环： 2d0cosi2?(j?)? 其中i2为所求的角半径
21从上两式得到：2d0cosi2?2d0??
22i2i2??1 即得：i2?因： cos2?2d0
15 用单色光观察牛顿环,测得某一亮环的直径为3mm,在它外边第5 个亮环的直径为4.6mm，所用平凸透镜的凸面曲率半径为1.03m，求此单色光的波长。
解:牛顿环亮环半径的表达式为:r?(j?1/2)?R
设某亮环的干涉级数为j,它外边第五个亮环的级数为j+5, 即有: rj2?(j?1/2)?R rj2?5?(j?5?1/2)?R 两式相减得到:??rj2?5?rj25R
代入数据：rj=3/2mm=1.5mm、 rj+5=4.6/2mm=2.3mm、 R=1.03m， 解出光波波长：λ= 590.3nm
16 在反射光中观察某单色光所形成的牛顿环，其第2级亮环与第3级亮环的间距为1mm，求第19级和第20级亮环之间的距离。
解: 根据牛顿环亮环半径的表达式:r?(j?1/2)?R 得到第j2=2级亮环与第j3=3级亮环的间距为:
r3?r2?(j3?1/2)?R?(j2?1/2)?R?(7/2?5/2)?R
第j20=20级亮环与第j19=19级亮环的间距为:
r20?r19?(j20?1/2)?R?(j19?1/2)?R?(41/2?39/2)?R
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第一章 光的干涉 课后习题解答
两式相比,代入已知数据(r3-r2=1mm),得到:
r20?r1941?39 ?r3?r27?5 解出第19级和第20级亮环之间的距离：r20-r19=0.039mm
17 牛顿环可由两个曲率半径很大的平凸透镜之间的空气层产生（如图），两平凸透镜凸面的半径分别为RA、RB，在波长为600nm的单色光照射下，观察到第10个暗环的半径rAB=4mm。若另有曲率半径为RC的平凸透镜C，并且B、C组合，A、C组合，产生的第10个暗环的半径分别为rBC=5mm、 rAC=4.5mm，试计算RA、RB、RC。
? 解：在图中，用单色光照射时，两束反射光的光程差：??2(h1?h2)?
222rr 其中：h1? h2?
2RA2RB有暗条纹的相干条件：
r2r2??
???(2j?1)RBRA22暗条纹的半径：r2?j?(RARB)
RA?RB对第十个暗纹：j=10，入射光波长：λ=600nm
当A、B组合时： rAB2?j?(RARB)?16mm2 1?1?0.375
RA?RB当B、C组合时： rBC2当A、C组合时： rAC2RARB11RR??0.24 ?j?(BC)?25mm2
RBRCRB?RC11RR??0.296 ?j?(AC)?20.25mm2
RARCRA?RC 解上述三个方程，得到：RA=6.27m、RB=4.64m、RC=12.43m。
18 菲涅耳双棱镜实验装置尺寸如下：缝到棱镜的距离为5cm，棱镜到屏的距离为95cm，棱镜角为α=179032＇，构成棱镜玻璃的折射率n=1.5。采用单色光照射。当厚度均匀的肥皂膜横过双棱镜的一半部分放置，该系统中心部分附近的条纹相对以前有0.8mm的位移。若肥皂膜的折射率为1.35，试计算肥皂膜厚度的最小值。
解：在图（1）中，光源S经双棱镜折射，形成两个虚光源S1、S2，设S1、S2之间的距离为d， 近似地有：θ≈（n-1）A
并且有：2A+α=1800 A=14＇=0.004rad
已知缝到棱镜的距离为：L=5cm，θ≈d/2L 解出：d=2Lθ=2L（n-1）A=0.2mm
设肥皂膜的厚度为t，折射率为n＇ 肥皂膜没插入前，干涉相长的条件：
dy?j? r0插入肥皂膜后，干涉相长的条件：dy??(n??1)t?j?
r0 7
第一章 光的干涉 课后习题解答
两式相减，得肥皂膜的最小厚度：t?d(y??y)
r0(n??1) 代入数据：r0=（95+5）cm、y-y＇=0.8mm、n＇=1.35、d= =0.2mm
计算得到肥皂膜的最小厚度：t=4.94×10-7m
19 将焦距为50cm的会聚透镜中央部分C切去,余下的A、B两部分仍旧
粘起来，C的宽度为1cm。在对称轴线上距透镜25cm处置一点光源，发出波长为692nm的红宝石激光，在对称轴线上透镜的另一侧50cm处置一光屏，屏面垂直于轴线，试求：（1）干涉条纹的间距是多少；（2）光平上呈现的干涉图样是怎样的？
解：透镜按题意分为A、B后，是两个透镜，点光源S经A、B两透镜 后，形成两个象S1、S2 ，如图。
图中，O1O1＇为A透镜的主轴，已知：s=-25cm f=50cm
由：
111?? 解得象距为：s＇=-50cm s?sf?y?s?? 解得象的横向位置为：y＇= 1cm ys由： ??也即A 透镜所成的象S2距透镜25cm，距系统对称轴0.5cm
同理，B透镜所成的象S1距透镜25cm，距系统对称轴0.5cm 两个相干的虚光源S1、S2之间的距离：d = 1cm 光源到观察屏之间的距离：r0 = 1m
（1）干涉条纹的间距： 由：?y?r0?， d得条纹间距：?y?6.92?10?3cm
（2）因相干光源的形状是两个点光源，所以形成的干涉花样的形状为一族双曲线，见图。在d较小、r0较大的情况下，花样近似地看成是明暗相交的直线条纹。
20 将焦距为5cm的薄凸透镜L沿直线方向刨开（见图1-4），分成A、B两部分，将A部分沿轴线右移至25cm处，这种类型的装置称为梅斯林对切透镜。若将波长为632.8nm的点光源P置于主轴上离透镜LB的距离为10cm处，试分析：（1）成象情况如何？（2）若在LB右边10.5cm处放一光屏，则在光屏上观察到的干涉图样如何？
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第一章 光的干涉 课后习题解答
解：（1）透镜按题意分为A、B后，是两个透镜，点光源S经A、B两透镜后，形成两个象S1、S2 ，如图。
根据透镜成像公式：
111?? ?ssf?解得象距为：s1＇=35/6cm s2＇=10cm
在两透镜的公共主轴上形成两个象。
（2）在光屏上有两束光重叠，以主轴和光屏的交点为圆心，呈现出一组明暗相间的同心半圆周线，见图。
由右图，解出亮条纹的半径：
rj?2jl?
说明亮条纹的半径随干涉级数的增大而增大。
由上式可解出条纹间距：
?rj?l? 2j表明亮条纹之间的距离随j的增大而减小。
21 如图1-5所示,A为平凸透镜,B为平板玻璃,C为金属柱,D为框加,A、B间有孔隙，图中绘出的是接触时的情况，而A固结在框加的边缘上。温度变化时，C发生伸缩，假设A、B、D都不发生伸缩，以波长为632.8nm的激光垂直照射，试问：（1）在反射光中观察时，看到牛顿环条纹移向中央，这表示金属柱C的长度是在增加还是减小？（2）若观察到有10个亮条纹移到中央消失，试问C的长度变化了多少？
解：（1）在反射光中观察到牛顿环第j级亮条纹的光程差为：
???2h??j?
2条纹半径为：rj?(j?1)?R 2从上两式可知，干涉级数j随薄膜厚度的
增加而增加。当看到条纹移向中央时，表示条纹的半径减小。此时在干涉场中一个确定点上，干涉级数是增加的，薄膜的厚度也在增加，，就说明金属柱C的长度是在缩短。
（2）当光程差改变一个半波长时，干涉场中看到条纹变化一次，则有条纹的变化次数N与薄膜厚度的变化量?H有如下关系式：
2 代入数据：N?10 ??632.8nm
?H?N?
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第一章 光的干涉 课后习题解答
解出金属柱长度的变化量为：?H?3164nm
（本习题解答仅作参考）
第二章 光的衍射
1 单色平面光照射到一小圆孔上，将其波面分成半波带，求第k个波带的半径。若极点到观察点的距离r0为1m，单色光波长为450nm，求此时第一半波带的半径。
解：当用平面光照射圆孔时，第k个波带的半径，由：
k?Rk2?(11?) 平行光R=∞ rR解出为：Rk?kr0?
当：r0=1m、λ=450nm、k=1时，
第一半波带的半径：R1?1?1?450?10?9?0.67?10?3m?0.67mm
2 平行单色光从左向右垂直照射到一个有圆形小孔的屏上，设此孔可以像照相机的光圈那样改变大小，问：（1）小孔半径应满足什么条件，才能使得小孔右侧轴线上距小孔中心4m的P点的光强分别得到极大值和极小值；（2）P点最亮时，小孔直径应为多大？设光的波长为500nm。
2解：用平行单色光垂直照射小圆孔，所露出的半波带的数目：k?Rk已知： r0=4m、/r0?，
λ=500nm、
圆孔的半径为：Rk? kr0??0.141k（1）当k为奇数时，P点的光强为最大值；
当k为偶数时，P点的光强为最小值；
（2）若使P点最亮，圆孔应只露出1个半波带，即k=1，
将： k=1代入：Rk?0.141k 得到小孔直径：d1?0.282mm
3 波长为500nm的单色点光源离光阑1m，光阑上有一个内外半径分别为0.5mm和1mm的透光圆环，接受点P离光阑1m，求P点光强度I与没有光阑时的光强度I0的比值。
解：已知：r0=1m、R=1m、λ=500nm
半径为R1=0.5mm的圆屏所能遮住的半波带数k1：
R1211k1?(?)?1
?Rr0半径为R2=1mm的圆孔能露出的半波带数k2：
2R211k2?(?)?4
?Rr0 10