天天练17 平面向量的概念及其线性运算
一、选择题
1．给出下列命题：
①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量； ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小； ③若λa＝0 (λ为实数)，则λ必为零；
④已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线． 其中错误命题的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：C
解析：①错误. 两向量共线要看其方向而不是起点与终点．②正确．因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．③错误．当a＝0时，不论λ为何值，λa＝0；④错误．当λ＝μ＝0时，λa＝μb，此时，a与b可以是任意向量．
2．(2018·海淀模拟)下列说法正确的是( ) A．长度相等的向量叫做相等向量 B．共线向量是在同一条直线上的向量 C．零向量的长度等于0 →∥CD→就是AB→所在的直线平行于CD→所在的直线 D.AB
答案：C
解析：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故A不正确；方向相同或相反的非零向量叫做共线向量，但共线向量不一定在同一
→∥CD→时，AB→所在的直条直线上，故B不正确；显然C正确；当AB→所在的直线可能重合，故D不正确． 线与CD
3．(2018·四川成都七中一诊)已知点O，A，B不在同一条直线上，
→＝2OA→＋BA→，则( ) 点P为该平面上一点，且2OP
A．点P在线段AB上
B．点P在线段AB的反向延长线上 C．点P在线段AB的延长线上 D．点P不在直线AB上
答案：B →＝2OA→＋BA→，∴2OP→－2OA→＝BA→，即2AP→＝BA→， 解析：∵2OP∴点P在线段AB的反向延长线上．故选B. 4．(2018·河南中原名校质检三)如图，已知在△ABC中，D为边→＝BC上靠近B点的三等分点，连接AD，E为线段AD的中点．若CE→＋nAC→，则m＋n＝( ) mAB11A．－3 B．－2 11C．－4 D.2 答案：B →＝AB→＋BD→＝AB→＋1BC→＝AB→＋1(AC→－AB→)＝2解析：依题意得AD3331→1→1?2→1→?→→→→→→→AB＋3AC，∴CE＝CA＋AE＝CA＋2AD＝－AC＋2?3AB＋3AC?＝－AC??1→1→1→5→→＝mAB→＋nAC→，∴m＝1，n＝－5，∴m＋3AB＋6AC＝3AB－6AC.∵CE36151＋n＝3－6＝－2.故选B. →＝3e＋5．(2018·资阳二模)设e与e是两个不共线的向量，AB121→＝ke＋e，CD→＝3e－2ke，若A，B，D三点共线，则k的2e2，CB1212值为( ) 94A．－4 B．－9 38C．－8 D．－3 答案：A 解析：由题意，A，B，D三点共线，故必存在一个实数λ，使得→＝λBD→.又AB→＝3e＋2e，CB→＝ke＋e，CD→＝3e－2ke，所以BD→＝AB121212→－CB→＝3e－2ke－(ke＋e)＝(3－k)e－(2k＋1)e，所以3e＋2eCD12121212?3＝λ?3－k?，＝λ(3－k)e1－λ(2k＋1)e2，所以??2＝－λ?2k＋1?， 9解得k＝－4.
6．(2018·太原二模)设D，E，F分别为△ABC三边BC，CA，AB→＋EB→＋FC→＝( ) 的中点，则DA1→1→A.2DA B.3DA 1→C.4DA D．0 答案：D 解析：因为D，E，F分别为△ABC三边BC，CA，AB的中点，→＋EB→＋FC→＝1(BA→＋CA→)＋1(AB→＋CB→)＋1(AC→＋BC→)＝1(BA→＋所以DA22221→→1→→→AB)＋2(CB＋BC)＋2(CA＋AC)＝0，故选D. 7．(2018·辽宁联考)已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是1?1→1→→?→?，则P一定为△ABC的重心，动点P满足OP＝3?2OA＋2OB＋2OC??△ABC的( ) A．AB边中线的三等分点(非重心) B．AB边的中点 C．AB边中线的中点 D．重心 答案：A ?1?1→1→→→?解析：如图所示，设AB的中点是E，则OP＝32OA＋2OB＋2OC???1→＝3(OE＋ →)．∵O是△ABC的重心，∴2EO→＝OC→， 2OC1→→→)＝EO→，∴点P在AB边的中线上，是中线的∴OP＝3(OE＋4EO三等分点，不是重心．故选A. 8．(2018·河南豫北名校联盟精英对抗赛)已知△ABC的外接圆的→＋4OB→＋5OC→＝0，则△ABC的面积半径为1，圆心为点O，且3OA为( ) 87A.5 B.5
64C.5 D.5 答案：C →|＝|OB→|＝|OC→|＝1.由3OA→＋4OB→＋5OC→＝0解析：由题意，得|OA→＋4OB→＝－5OC→，→·→＝0.同理，→＋4OB→＋得3OA两边平方得OAOB由3OA→＝0得3OA→＋5OC→＝－4OB→和4OB→＋5OC→＝－3OA→， 5OC3→→4→→两个式子分别平方可得OA·OC＝－5和OB·OC＝－5. 344所以cos∠AOC＝－5，cos∠BOC＝－5，sin∠AOC＝5，sin∠BOC3113146＝5，所以S＝2×1×1＋2×1×1×5＋2×1×1×5＝5. 二、填空题 9．已知a与－b是两个不共线的向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则实数λ的值为________． 1答案：－3 解析：因为a＋λb与－(b－3a)共线，所以存在实数μ，使a＋λb1??μ＝3，所以?1??λ＝－3.?1＝3μ，＝μ(3a－b)，即??λ＝－μ， 10．(2018·盐城一模)在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线交1→→(λ∈R)，则AD的长为BC于点D，若AB＝4，且AD＝4AC＋λAB________． 答案：33 13解析：因为B，D，C三点共线，所以4＋λ＝1，解得λ＝4，如图，1→→过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点M，N，则AN＝4AC，3→→AM＝4AB，经计算得AN＝AM＝3，AD＝33.