浅析函数中双变量的任意与存在问题
邓冬华 冷世平
（四川省成都市第二十中学校 四川 成都 610036） （四川省乐至中学 四川 乐至 641500）
恒成立、能成立问题是高中数学的一类重要问题,也是高中数学的难点.这类问题的解决通常思维容量较大,往往需要等价转化.解决一个变量的任意与存在问题是比较简单的,但对于两个变量的任意与存在问题,学生普遍觉得比较困难.
请看下面的问题： 引例：（2013·四川资阳“一诊”）设f(x)是定义在实数集R上的奇函数,当x?0时,f(x)??x2?4x.（1）求f(x)的解析式,并解不等式f(x)?x；（2）设g(x)?2x?1?m,若对任意x1?[?1，4],总存在x2?[2，5],使f(x1)?g(x2),求实数m的取值范围.
对于问题（2）,标答如下： 当x1?[?1，4]时,f(x1)?[?3，4].
∵g(x)?2x?1?m是R上的增函数,∴当x2?[2，5]时,g(x2)?[2?m，16?m], ∵对任意x1?[?1，4],总存在x2?[2，5]使f(x1)?g(x2),∴[?3，4]?[2?m，16?m],
?2?m??3则?,解得?12?m??5,故实数m的取值范围是[?12，?5].
16?m?4?本例出现的“?x1?D1,?x2?D2,f(x1)?g(x2)”的结构,就是本文所说的双变量的任意与存在问题.本例的解答过程中的[?3，4]?[2?m，16?m],很多学生想不通,或想得不够自然.对于两个变量的任意与存在问题有没有学生更容易接受的解决策略呢？这正是本文要探讨的
内容.
一、任意与存在问题的四种类型
记区间D1,D2分别是函数y?f(x),y?g(x)定义域的子区间.双变量的任意与存在问题包含以下四种基本类型：
类型1. ?x1?D1,?x2?D2,f(x1)?g(x2)?fmin(x)?gmax(x).其等价转化的基本思想是：函数y?f(x)的任一函数值均大于函数y?g(x)的任一函数值,只需fmin(x)?gmax(x)即可.同理有：?x1?D1,?x2?D2,f(x1)?g(x2)?fmax(x)?gmin(x).
例1 已知f(x)?8x2?16x?k(k?R),g(x)?2x3?5x2?4x.若对?x1、x2???3,3?,都有f(x1)?g(x2)成立,求k的取值范围.
分析与解：本题的关键是对条件“对?x1、x2???3,3?,都有f(x1)?g(x2)成立”进行处理.由上面的分析知,其等价于f(x)max?g(x)min,故先判定单调性求其相应的最值.
- 1 -
由f(x)?8x2?16x?k=8(x?1)2?k?8,g'(x)?6x2?10x?4?2(x?1)(3x?2)知,
f(x)在[?3,?1]单调递减,在[?1,3]单调递增,且
f(?3)?24?k,f(3)?120?k,?fmax(x)?120?k.
22g(x)在[?3,?1]单调递增,在[?1,?]上单调递减,在[?，3]上单调递增,且
33228g(?3)??21,g(?)??,?g(x)min??21.
327?120?k??21?k?141,即k?[141,??)
类型2.?x1?D1,?x2?D2,f(x1)?g(x2)?fmin(x)?gmin(x).其等价转化的基本思想是：函数y?f(x)的任一函数值大于函数y?g(x)的某些函数值,但并不要求大于y?g(x)的所有函数值,故只需fmin(x)?gmin(x)即可.
同理有：?x1?D1,?x2?D2,f(x1)?g(x2)?fmax(x)?gmax(x).
125例2 设函数f?x??lnx?x?,若对于?1．函数g?x??x2?2bx?1233x,]?x1?[1,2?x2?[0,1],使f?x1??g?x2?成立,求实数b的取值范围．
分析与解：由已知“对于?x1?[1,2],?x2?[0,1],使f(x1)?g(x2)成立”?g(x)在?0,1?上的最小值小于等于f(x)在?1,2?上的最小值,先分别求函数f(x),g(x)的最小值,最后解不等式g(x)min?f(x)min得实数b的取值范围．
2易知函数f(x)在(1,2)上单调递增,故f(x)在[1,2]上fmin(x)?f(1)??；
355又g(x)?x2?2bx??(x?b)2?b2?,x?[0,1]
121252①当b?0时,g(x)在[0,1]上为增函数,gmin(x)?g(0)????,舍去
1235215②当0?b?1时,gmin(x)?g(b)??b2?,由?b2???及0?b?1得,?b?1
212312
72③当b?1时,g(x)在[0,1]上为减函数,?g(x)?min?g?1???2b??及b?1得b?1.
1231 综上,b的取值范围是[,??).
2类型3.?x1?D1,?x2?D2,f(x1)?g(x2)?fmax(x)?gmax(x). 其等价转化的基本思想
是：函数y?f(x)的某些在函数值大于函数y?g(x)的任一函数值,只需要y?f(x)有函数值大于即可,不是所有函数值,故只需fmax(x)?gmax(x)即可.
- 2 -
同理有：?x1?D1,?x2?D2,f(x1)?g(x2)?fmin(x)?gmin(x). 例3 已知函数g(x)?2x?2ex?ln，h(x)?x2?mx?4,若?x1?(0,1],对?x2?[1,2],x2总有g(x1)?h(x2)成立,求实数m的取值范围.
分析与解：本题的关键在于：?x1?(0,1],对?x2?[1,2],总有g(x1)?h(x2)成立?g(x)在(0,1]上的最大值大于等于h(x)在[1,2]上的最大值.
2ex2x2?x?2由g(x)?2x??ln,得g?(x)??0,故在(0,1]上g?(x)?0,即函数g(x)2x2x在(0,1]上单调递增,?g(x)max?g(1)?ln2?1.
而h(x)在[1,2]上的最大值为h(1),h(2)中的最大者,记为max{h(1),h(2)}.
?g(1)?ln2?1?h(1)?g(1)?ln2?1?5?m则有?,解得m?6?ln2. ，??g(1)?ln2?1?h(2)g(1)?ln2?1?8?2m??故实数m的取值范围为[6?ln2,??).
类型4.?x1?D1,?x2?D2,f(x1)?g(x2)?fmax(x)?gmin(x).其等价转化的基本思想是：函数y?f(x)的某些函数值大于函数y?g(x)的某些函数值,都只需要有这样的函数值,不需要所有的函数值,故只需fmax(x)?gmin(x).
同理有：?x1?D1,?x2?D2,f(x1)?g(x2)?fmin(x)?gmax(x).
2mx2,g(x)?lnx?2ex?2,存在x1,x2?(0,1)使f(x1)?g(x2)成立,??x2?1求实数m的取值范围.
例4 已知函数f(x)?分析与解：存在x1,x2?(0,1)使f(x1)?g(x2)成立,只需要f(x)的最大值大于g(x)的最小值.
由已知得g?(x)?2lnx?1?2e?0 解得x?e?1.当x?(0,e)时,g?(x)?0,g(x)单调递x减；当x?(e?1,1)时,g?(x)?0,g(x)单调递增,所以gmin(x)?g(e?1)?1.
2mx显然m?0则f(x)在(0,1)上是递增函数,故f(x)的最大值不存在！但21?x当x?1时,f(x)?m,即f(x)的最小上界（上确界）为m，所以m?1.故实数m的取值范围是(1,??).
又f(x)?二、对双变量的任意与存在问题等价转化的几点说明
1.在具体理解时,双变量的问题可以转化为单变量的问题,只需将双变量的任意与存在分别对应单变量的恒成立与能成立问题处理即可；
2.f(x1)?g(x2)与f(x1)?g(x2)也可以相应地变化处理，如例1，例2，例3；
- 3 -