固体物理试题1——参考答案
一 、填空题（每小题2分，共12分） 1、体心立方晶格的倒格子是 面心立方 点阵，面心立方晶格的倒格子是 体心立方 点阵。 2、晶体宏观对称操作的基本元素分别是 1、2、3、4、6、i、m（2）、4 等八种。 3、N 对钠离子与氯离子组成的离子晶体中，独立格波波矢数为 N ，声学波有 3 支，光学波有 3 支，总模式数为 6N 。
4、晶体的结合类型有 金属结合、共价结合、离子结合、范德瓦耳斯结合、氢键结合及混合键结合。
5、共价结合的主要特点为 方向性与饱和性 。
6、 晶格常数为a的一维晶体电子势能V(x)的傅立叶展开式前几项(单位为eV)为:
,
在近自由电子近似下, 第二个禁带的宽度为 2（eV）。 二、单项选择题（每小题 2分，共 12 分）
1、晶格常数为a的NaCl晶体的原胞体积等于（ D ）.
A、
B、
C、
D、
.
2、金刚石晶体的配位数是（ D ）。
A、12 B、8 C、6 D、4.
3、一个立方体的点对称操作共有（ C ）。
A、 230个 B、320个 C、48个 D、 32个.
4、对于一维单原子链晶格振动的频带宽度，若最近邻原子之间的力常数β增大为4β，则
晶格振动的频带宽度变为原来的（ A ）。 A、 2倍 B、4倍 C、 16倍 D、 1倍.
5、晶格振动的能量量子称为（ C ）。 A、 极化子 B、 激子 C、 声子 D、光子.
6、三维自由电子的能态密度，与能量E的关系是正比于（ C ）
A、 E?12 B、E0 C、E1/2 D、E.
三、问答题（每小题4分，共16分） 1、与晶列解答
正格子与倒格子互为倒格子。正格子晶面
与倒格矢
垂直的倒格面的面指数是什么？
垂直,则倒格晶面
与倒格面
与正格矢 垂直。
正交。即晶列
2、晶体的结合能、 晶体的内能、 原子间的相互作用势能有何区别?
解答 自由粒子结合成晶体过程中释放出的能量, 或者把晶体拆散成一个个自由粒子所需要的能量, 称为晶体的结合能。 原子的动能与原子间的相互作用势能之和为晶体的内能。 在0K时, 原子还存在零点振动能. 但零点振动能与原子间的相互作用势能的绝对值相比小得多。 所以, 在0K时原子间的相互作用势能的绝对值近似等于晶体的结合能。 3、 温度一定，一个光学波的声子数目多呢, 还是声学波的声子数目多?
而对同一个振动模式, 温度高时的声子数目多呢, 还是温度低时的声子数目多? 解答
频率为?的格波的(平均)声子数为:
n(?)?1e??/kBT?1.
??A/kBT?1)大于(e因为光学波的频率?O比声学波的频率?A高, (e度一定情况下, 一个光学波的声子数目少于一个声学波的声子数目。
??O/kBT?1), 所以在温
设温度TH>TL, 由于(e度低时的声子数目.
??/kBTH?1)小于(e??/kBTL?1), 所以温度高时的声子数目多于温
4、 将布洛赫函数中的调制因子uk?r?展成付里叶级数, 对于近自由电子, 当电子波矢远离和在布里渊区边界上两种情况下, 此级数有何特点? 在紧束缚模型下, 此级数又有什么特点? 解答
由布洛赫定理可知, 晶体中电子的波函数
,
由uk?r?的展开公式可得
=。对于近自由电子, 当电子波矢远近似一常数。 因此,
的展开式
离布里渊区边界时, 它的行为与自由电子近似, 中, 除了
外, 其它项可忽略.。当电子波矢落在与倒格矢Kn正交的布里渊区边界时, 与
展开式中, 除了
2
布里渊区边界平行的晶面族对布洛赫波产生了强烈的反射, 和大, 偏
两项外, 其它项可忽略.在紧束缚模型下, 电子在格点Rn附近的几率
2
离格点Rn的几率小.。 对于这样的波函数, 其付里叶级数的展式包含若干项. 也就
是说, 紧束缚模型下的布洛赫波函数要由若干个平面波来构造。 四、计算题（每小题 10 分，共30 分）
1、求出一维单原子链的S态能带、速度、有效质量的表达式。 解
最近邻E?k??Es?J?0???J?R?esRS?0?ik?Rs
=Es?J?0??J1(e?ika?eika)?Es?J?0??2J1cos?ka?
V（k）=?kE?K????211dE?dk=
?22J1a?2sinka
m=?/（
dE?k?2dk2）=
2J1acoska
322、 某固体表面原子形成二维长方晶格，其布拉伐点阵为：Rl?l1a1?l2a2，其中a1?求其倒格子点阵，并画出第一、第二布里渊区。 解
b1?2??a2，
?a2?a3?,b2?2???a3?a1?，
取a3为垂直晶面的单位矢量k0,a1、a2分别沿x、y轴，于是
b1?2?a1i , b2?2?a2j=
32b
1 倒点阵为：
?Kn=n1b1?nb22bn3
图中横线区为1BZ，竖线区为2BZ
3、计算CsCl晶体的几何结构因子F（Kh），并讨论衍射面指数与衍射光强的关系。 解
每个元胞有两个不同离子，位矢为 r1:（0,0,0）,r2: （1/2,1/2,1/2） 所以，CsCl晶体的几何结构因子F（Kh）为： F（h1,h2,h3）=?fiei?2?i?h1xi1?h2xi2?h3xi3?
=f1+f2e?i??h1?h2?h3?
当h1?h2?h3=偶数，F=f1?f2 ； 当h1?h2?h3=奇数，F=f1?f2 衍射强度I?F2，所以，当h1?h2?h3=偶数时，衍射加强，当h1?h2?h3=奇数时，衍射
减弱。如果f1?f2，则I?0，出现衍射消光。 五、证明题（每小题题10分，共 30分） 1、NaCl型离子晶体排斥势的幂指数为：
n=1+
4??0?18?R04?e2
证：
? 晶体平衡时的体积弹性模量为 ??VdUdV222V0
其中，V=N（2r）,U=N（?3Ar?Brn）,A=
?e4??0 平衡条件
dUdrr0?0，结合诸式可得
???e2?n?1?44??018R0 ? n=1+
4??0?18?R04?e2
2、某三维晶体光频支的色散关系为??q???0?Aq，则对应的声子谱密度为：
2V1/2????? ????? ??0min0?4?2A3/2?2/3???6?2N?A。 ??????0 ?>?0?，?min??0????V??0 ?
?????V?2???03??dS??q?s?q?=
V?2??3?4?q22Aq?V4?A23/2??0???2/31/2 （???0）
又由??min????d??N得 ?min?6?2N???0????V?A 且???min
V1/2????? ????? ??0min0?4?2A3/2???所以，??????0 ?>?0?
?0 ?
?2⑴ uk（r）满足方程：（-
2m（▽+ik）2+ V（r））uk（r）=E（k）uk（r）;
（2）E（k）=E（k+ kh）, Ψk（r）=Ψk?K（r），kh为倒格矢。
h证：
▽2Ψ=▽2〔eik.ruk（r）〕= eik.r（▽+ik）2 uk（r） ①
-
?22m▽2Ψ+V（r）Ψ=E（k）Ψ ②
∴（-
?22m（▽+ik）2+ V（r））u（k,r）
=E（k）u（k,r） ③
又∵Ψik.rhk?K（r）=e〔eikr.ur）〕代入②得
hk?K（h-
?2（▽+ik）2+ V（r））〔eikhr.u（k+k2mh，r）〕
= E（k+khh）〔eikr.u（k+kh，r）〕 E（k）=E（k+ kh）, Ψ（k,r）=Ψ（k+ kh,r）
④
（比较③④，算符相同，边界条件相同，由解的唯一性必有：