专题 基本不等式 编者：高成龙
专题 基本不等式
【一】基础知识
基本不等式：a?b?2ab?a?0,b?0?
（1）基本不等式成立的条件： ； （2）等号成立的条件：当且仅当 时取等号. 2.几个重要的不等式
?a?b?（1）ab?42（2）a+b?2?a,b?R?；ab?a?0,b?0?；
【二】例题分析
【模块1】“1”的巧妙替换
【例1】已知x?0,y?0，且x?y?
【变式1】已知x?0,y?0，且x?y?
【变式2】（2013年天津）设a?b?2,b?0， 则
【例2】（2012河西）已知正实数a,b满足
【变式】已知正实数a,b满足
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341，则?的最小值为 . 4xy34x，则?的最小值为 . 4xy1|a|?的最小值为 . 2|a|b21??1，则a?2b的最小值为 . ab21??1，则a?2b?ab的最小值为 . ab专题 基本不等式 编者：高成龙
【例3】已知x?0,y?0，且2x?8y?xy?0，则x?y的最小值为 .
【例4】已知正数x,y满足x?2y?1，则
【例5】已知a?0,b?0，若不等式
【例6】（2013年天津市第二次六校联考）已知直线2ax?by?1?a,b?0?与圆x2?y2?1相交于A,B两点，O为坐标原点，且△AOB为直角三角形，则
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x?8y的最小值为 . xy21m??总能成立，则实数m的最大值为 . ab2a?b12?2的最小值为 . 2ab专题 基本不等式 编者：高成龙
【例7】（2012年南开二模）若直线2ax?by?2?0?a?0,b?0?始终平分圆x2?y2?2x?4y?1?0的周长，则
11?的最小值为 . ab
【例8】设e1,e2分别为具有公共焦点F1,F2的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足
?????????2的最小值为 PF1?PF2?0，则4e12?e2
【例9】已知x?0,y?0,lg2x?lg4y?lg2，则11?的最小值是（ ） xyA．6 B．5 C．3?22 D．42
4x?1【例10】已知函数f?x??x，若x1?0,x2?0，且f?x1??f?x2??1，则f?x1?x2?的最小值为 . 4?1
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【模块二】“和”与“积”混合型
【例1】（2012年天津）设m,n?R,若直线l:mx?ny?1?0与x轴相交于点A,与y轴相交于B，且l与圆x2?y2?4相交所得弦的长为2，O为坐标原点，则?AOB面积的最小值为 .
【例2】设x,y?R，a?1,b?1，若ax?by?2，a?2b?8，则
【例3】若实数x,y满足x2?y2?xy?1，则x?y的最大值为 .
【例4】（2013年南开一模）已知正实数a,b满足a?b?2ab?1，则a?b的最小值为 .
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11?的最大值为_______. xy专题 基本不等式 编者：高成龙
【例5】设m,n?R，若直线?m?1?x??n?1?y?2?0与圆?x?1???y?1??1相切，则m?n的取值范围是（ ） （A）?1?3,1?3? （B）??,1?3???1?3,??
22??（C）?2?22,2?2???????2?? （D）???,2?22???2?22,???
【例6】已知x?1,y?1，且
【例7】（2015天津）已知a?0,b?0,ab?8, 则当a的值为 时log2a?log2?2b?取得最大值.
【例8】（2011年天津）已知log2a?log2b?1，则3?9的最小值为 .
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ab11lnx,,lny成等比数列，则xy的最小值为 . 44专题 基本不等式 编者：高成龙
【例9】下列说法正确的是（ ）
A．函数y?x?2x的最小值为22 B．函数y?sinx?2sinx(0?x??)的最小值为22 C．函数y?x?2x的最小值为22 D．函数y?lgx?2lgx的最小值为22
【例10】设x,y?R,且x?y?5,则3x?3y的最小值是（ A．10 B．63 C．46 D．183
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）