dB??0Idl
4?r2dB的方向垂直于电流元Idl和矢径r所组成的平面，由于圆形导线上各电流元在P点所产生的磁感强度的方向不同，因此把dB分解成两个分量：平行于X轴的分量dB//和垂直于X轴的分量dB?。在圆形导线上，由于同一直径两端的两电流元在P点产生的磁感强度对X轴是对称的，所以它们的垂直分量dB?互相抵消，于是整个圆形电流的所有电流元在P点产生的磁感强度的垂直分量dB?两两相消，所以迭加的结果只有平行于X轴的分量dB//，即
B?B//??dBsin???L?0Idlsin?
L4?r2式中sin??R，对于给定点P、r、I和R都是常量，所以
r B??0IR2?R?0IR2dl? （7-8）
4?r3?02(R2?x2)32B的方向垂直于圆形导线所在平面，并与圆形电流组成右手螺旋关系。
上式中令x = 0，得到圆心处的磁感强度为 B? (7-9)
2R在轴线上，远离圆心即(x?R)处的磁感强度为
?0I?0IS
2x2?x3式中S??R2为圆形导线所包围面积，Pm?ISn，n为面积S法线方向的单位矢量，它
B?3?0IR2?的方向和圆电流垂直轴线上的磁感强度的方向一样，与圆电流成右手螺旋关系，则上式可改写成矢量式
B??0Pm (7-10) 2?x3上式与电偶极子沿轴线上的电场强度公式相似，只是把电场强度E换成磁感强度B，系数
2??0
1
换成
?0，而电矩Pe换成Pm。由此可见Pm应叫做载流圆形线圈的磁矩。式(7-10)可2?推广到一般平面载流线圈。若平面线圈共有N匝，每匝包围面积为S，通有电流为I，线圈平面的法线单位矢量方向的指向与线圈中的电流方向成右旋关系，那么该线圈的磁矩为
Pm?NISn (7-11) 例7-1 真空中，一无限长载流导线，AB、DE部分平直，中间弯曲部分为半径R＝4.00cm的半圆环，各部分均在同一平面内，如图7-8所示。若通以电流I＝20.0A，求半圆环的圆心O处的磁感强度。
解 由磁场迭加原理，O点处的磁感强度B是由AB、BCD和DE三部分电流产生的磁感强度的叠加。
AB部分为“半无限长”直线电流，在O点产生的B1大小为
?0I?sinβ2?sinβ1? 4?R?因 β1??,β2?0
B1?2故
?0I4??10?7?20.0B1???5.00?10?5T ?24?R4??4.00?10B1的方向垂直纸面向里。同理，DE部分在O点产生的B2的大小与方向均与B1相同， 即 B2??0I?5.00?10?5T 4?RBCD部分在O点产生的B3要用积分计算 ：B3?dB
其中dB为半圆环上任一电流元Idl在O点产生的磁感强度，其大小为
?dB=μ0Idlsinθ
4πR2?Idl因 θ?π，故 dB?02
24?RdB的方向垂直纸面向里。半圆环上各电流元在O点产生dB方向都相同，则
B3??dB???R0?0Idl?0I4??10?7?20.0??1.57?10?4T ??224?4.00?104?R4R因B1、B2、B3的方向都相同，所以O点处总的磁感强度B的大小为
B?B1?B2?B3?5.00?10?5?5.00?10?5?1.57?10?4?2.57?10?4T
B的方向垂直纸面向里。
7.3 磁场的高斯定理
7.3.1 磁感线
为了形象化的描述磁场分布情况，我们像在电场中用电场线来描述电场的分布那样，用磁感应线简称B线来表示磁场的分布。为此，我们规定：
1. 磁感应线上任一点的切线方向与该点的磁感应强度B的方向一致；
2. 磁感应线的密度表示B的大小。即通过某点处垂直于B的单位面积上的磁感应线条数等于该点处B的大小。因此，B大的地方，磁感应线就密集；B小的地方，磁感应线就稀疏。
实验上可以利用细铁粉在磁场中的取向来显示磁感应线的分布。图7-9给出了几种不同形状的电流所产生的磁场的磁感应线示意图。
(a)直电流的磁感应线 (b)圆电流的磁感应线 (c)螺线管电流的磁感应线
图7-9 几种不同形状的电流所产生的磁场的磁感应线
从磁感应线的图示，可得到磁感应线的重要性质：(1)任何磁场的磁感应线都是环绕电流的无头无尾的闭合线。这是磁感应线与电场线的根本不同点。它说明任何磁场都是涡旋场。
(2)每条磁感应线都与形成磁场的电流回路互相套合着。磁感应线的回转方向与电流的方向之间关系遵从右手螺旋法则。(3)磁场中每一点都只有一个磁场方向，因此任何两条磁感应线都不会相交。磁感应线的这一特性和电场线是一样的。
7.3.2 磁通量 磁场的高斯定理
通过磁场中任一曲面的磁感应线 (B线)总条数，称为通过该曲面的磁通量，简称B通量，用Φm表示。磁通量是标量，但它可有正、负之分。磁通量Φm的计算方法与电通量Φe 的计算方法类似。如图7-10所示，在磁场中任一给定曲面S上取面积元dS，若dS的法线n的方向与该处磁感应强度B的夹角为θ ，则通过面积元dS的磁通量为
dΦm?B?dS?BcosθdS (7-12) 式中，dS是面积元矢量，其大小等于dS，其方向沿法线n的方向。 通过整个曲面S的磁通量等于通过此面积上所有面积元磁通量的代数和，即
Φm??dΦm??B?dS??BcosθdS (7-13)
SSS在国际单位制中，磁通量的单位是韦伯，符号为Wb，
1Wb?1T?m2
对闭合曲面来说，规定取垂直于曲面向外的指向为法线
于是磁感应线从闭合曲面穿出时的磁通量为正n的正方向。值(θ?π2)，磁感应线穿入闭合曲面时的磁通量为负值
图7-10
（θ?π)。由于磁感应线是无头无尾的闭合线，所以穿入2闭合曲面的磁感应线数必然等于穿出闭合曲面的磁感应线数。因此，通过磁场中任一闭合曲面的总磁通量是恒等于零。这一结论称作磁场中的高斯定理。即
??SB?dS?0 (7-14)
上式与静电场中的高斯定理相对应，但两者有本质上的区别。在静电场中，由于自然界有独立存在的自由电荷，所以通过某一闭合曲面的电通量可以不为零，其中??SD?dS??qi，说明静电场是有源场。在磁场中，因自然界没有单独存在的磁极，所以通过任一闭合面的磁通量必恒等于零，即??B?dS?0，说明磁场是无源场，或者说是涡旋场。
S例7-2 如图7-11所示，磁感应强度为B = 2T
的均匀磁场，方向沿y轴正向。闭合面是一底面为直角三角形的三棱柱面。规定封闭曲面各处的法线方向垂直曲面向外。求通过： （1）befc面的磁通量； （2）aefd面的磁通量； （3）整个闭合面的磁通量
解 （1）通过befc面的磁通量为
Φm??B?dS=?BdScos90o?0
S
图7-11
（2）通过aefd面的磁通量为
Φm??B?dS=?BdScosα?BSabcdS = 2T?0.4m×0.3m = 0.24Wb
（3）对整个闭合面而言，面上各点的正法线指向规定向外为正， 磁感线从abcd面穿入，则通过abcd面的磁通量为负，
Φm1??B?dS=?BdScosπ??BSabcdS = ?2T?0.4m×0.3m =?0.24Wb
而通过aefd面的磁通量是穿出的，磁通量为正，由（2）得：Φm2= 0.24Wb 通过其他三个面的磁通量均为零。所以通过整个闭合面的磁通量为
Φm??B?dS = －0.24Wb＋0.24WbS
= 0例7-3 真空中一无限长直导线CD，通以电流I＝10.0A，若一矩形EFHG与CD共面，如图7-12所示。其中a = d =10.0cm，b＝20.0cm。求通过矩形EFGH面积S的磁通量。 解 由于无限长直线电流在面积S上各点所产生的磁感强度B的大小随r不同而不同，所以计算通过S面的磁通量B时要用积分。为了便于运算，可将矩形面积S划分成无限多与直导线CD平行的细长条面积元dS = bdr，设其中某一面积元dS与CD相距r，dS上各点B的大小视为相等，B的方向垂直纸面向里。取dS的方向(也就是矩形面积的法线方向)也垂直纸面向里，则
Φm??B?dS=?BdScos0o??BdSSSS ?? =a?dd0.1?0.1μ0IμIbbdr?0lnr0.12πr2πμ0Ibln22π ?2.77?10?7Wb
图7-12
7.4安培环路定理
静电场中的电场线不是闭合曲线，电场强度沿任意闭合路径的环流恒等于零，即
??lE?dl?0。这是静电场的一个重要特征。但是在磁场中，磁感应线都是环绕电流的闭合
曲线，因而可预见磁感强度的环流??B?dl不一定为零：如果积分路径是沿某一条磁感应线，
ldl都是大于零，所以 则在每一线段元上的B·
??lB?dl?0。这种环流可以不等于零的场叫
做涡旋场。磁场是一种涡旋场，这一性质决定了在磁场中不能引入类似电势的概念。
在真空中，各点磁感强度B的大小和方向与产生该磁场的电流分布有关。可以预见环流??B?dl的值也与场源电流的分布有关。下面的定理将给出它们之间十分简单的定量关
l系。
7.4.1 安培环路定理
为简单起见，下面从特例计算环流??B?dl的值，然后引入定理。
l设真空中有一长直载流导线，它所形成的磁场的磁感应线是一组以导线为轴线的同轴圆(图7-13)，即圆心在导线上，圆所在的平面与导线垂直。在垂直于长直载流导线的平面内，任取一条以载流导线为圆心半径为 r的圆形环路 l 作为积分的闭合路径。
图7-13 图7-14
?0I则在这圆周路径上的磁感强度的大小为B?，其方向与圆周相切。如果积分路径的绕行
2?r方向与该条磁感应线方向相同，也就是积分路径的绕行方向与包围的电流成右螺旋关系，则B与dl间的夹角处处为零，于是
??B?dl???l?0I?0I?0Icos00dl??dl??l2?r2?r2?r l2?r所以
??B?dl= μ0I (7-15a)
l上式说明磁感强度B的环流等于闭合路径所包围的电流与真空磁导率的乘积，而与积分路
径的圆半径r无关。
如果保持积分路径的绕行方向不变，而改变上述电流的方向，由于每个线元dl与B的夹角θ?π，则
B?dl?Bcosθdl??Bdl?0 所以β
??B?dl=－μ0I =μ0（－I） (7-15b)
l上式说明积分路径的绕行方向与所包围的电流方向成左旋关系，可认为对路径讲，该电流是
负值。
(7-15a)、(7-15b)两式虽从特例得出，但可证明(从略)：对于任意形状的载流导线以及任意形状的闭合路径，该两式仍成立。应指出，当电流未穿过以闭合路径为周界的任意曲面时，路径上各点的磁感强度虽不为零，但磁感强度沿该闭合路径的环流为零，即
??B?dl=0 (7-15c)
l，2??n)的载流导线穿过以闭合路径l为周界 在一般情况下，设有n根电流为Ii(i?1的任意曲面，m根电流为Ij(j?1利用(7-15a)、(7-15b)、，2??m)的载流导线未穿过该曲面，