由于f?2??a?0，f?1???e?0，则f?2?f?1??0， 根据零点存在性定理，f?x?在?1,2?上有且仅有一个零点． 而当x?1时，ex?e，x?2??1?0，
故f?x???x?2?ex?a?x?1??e?x?2??a?x?1??a?x?1??e?x?1??e
?e?e2?4ae?e?e2?4ae?1，t2??1， t1?t2，因为a?0，故当x?t1则f?x??0的两根t1?2a2a222或x?t2时，a?x?1??e?x?1??e?0 因此，当x?1且x?t1时，f?x??0
又f?1???e?0，根据零点存在性定理，f?x?在???,1?有且只有一个零点． 此时，f?x?在R上有且只有两个零点，满足题意．
2e③ 若??a?0，则ln??2a??lne?1，
2当x?ln??2a?时，x?1?ln??2a??1?0，ex?2a?e即f'?x???x?1?ex?2a?0，f?x?单调递增； 当ln??2a??x?1时，x?1?0，ex?2a?e调递减；
当x?1时，x?1?0，ex?2a?e即：
x ln??2a?ln??2a??2a?0，
??ln??2a??2a?0，即f'?x???x?1??ex?2a??0，f?x?单
?2a?0，即f'?x??0，f?x?单调递增．
???,ln??2a?? + ↑ ln??2a? 0 极大值 ?ln??2a?,1? - ↓ 1 0 极小值 ?1,??? + ↑ f'?x? f?x? 而极大值
f??ln??2a?????2a??ln??2a??2???a??ln??2a??1???a??ln??2a??2???1?0
2?2?故当x≤1时，f?x?在x?ln??2a?处取到最大值f?那么f?x?≤f??ln??2a???，?ln??2a????0恒成立，即f?x??0无解
而当x?1时，f?x?单调递增，至多一个零点 此时f?x?在R上至多一个零点，不合题意．
e④ 若a??，那么ln??2a??1
2当x?1?ln??2a?时，x?1?0，ex?2a?eln??2a??2a?0，即f'?x??0，
f?x?单调递增
当x?1?ln??2a?时，x?1?0，ex?2a?eln??2a??2a?0，即f'?x??0，
f?x?单调递增
又f?x?在x?1处有意义，故f?x?在R上单调递增，此时至多一个零点，不合题意．
e⑤ 若a??，则ln??2a??1
2当x?1时，x?1?0，ex?2a?e1?2a?eln??2a??2a?0，即f'?x??0，
f?x?单调递增
当1?x?ln??2a?时，x?1?0，ex?2a?eln??2a??2a?0，即f'?x??0，
f?x?单调递减
当x?ln??2a?时，x?1?ln??2a??1?0，ex?2a?eln??2a??2a?0，即f'?x??0，
f?x?单调递增 即：
x ???,1? + ↑ 1 0 极大值 ?1,ln??2a?? - ↓ ln??2a? 0 极小值 ?ln??2a?,??? + ↑ f'?x? f?x? 故当x≤ln??2a?时，f?x?在x?1处取到最大值f?1???e，那么f?x?≤?e?0恒成立，即
f?x??0无解
当x?ln??2a?时，f?x?单调递增，至多一个零点 此时f?x?在R上至多一个零点，不合题意．
综上所述，当且仅当a?0时符合题意，即a的取值范围为?0,???．
⑵ 由已知得：f?x1??f?x2??0，不难发现x1?1，x2?1，
x1?2?ex?故可整理得：?a?2?x1?1?1?x2?2?ex?2?x2?1?2
x?2?ex?设g?x??，则g?x1??g?x2? 2?x?1??x?2??1x，当x?1时，g'x?0，gx单调递减；当x?1时，g'x?0，gx单
那么g'?x??e????????3?x?1?调递增．
设m?0，构造代数式： g?1?m??g?1?m??m?11?m?m?11?m1?m1?m?m?12m?e?e?2e?e?1? m2m2m?m?1?2设h?m??则h'?m??m?12me?1，m?0 m?12m2?m?1?2e2m?0，故h?m?单调递增，有h?m??h?0??0．
因此，对于任意的m?0，g?1?m??g?1?m?．
由g?x1??g?x2?可知x1、x2不可能在g?x?的同一个单调区间上，不妨设x1?x2，则必有x1?1?x2 令m?1?x1?0，则有g??1??1?x1????g??1??1?x1????g?2?x1??g?x1??g?x2? 而2?x1?1，x2?1，g?x?在?1,???上单调递增，因此：g?2?x1??g?x2??2?x1?x2 整理得：x1?x2?2．
22．⑴ 设圆的半径为r，作OK?AB于K
?AOB?120? ∵OA?OB，∴OK?AB，?A?30?，OK?OA?sin30??∴AB与⊙O相切 ⑵ 方法一：
假设CD与AB不平行 CD与AB交于F
OA?r 2FK2?FC?FD① ∵A、B、C、D四点共圆
∴FC?FD?FA?FB??FK?AK??FK?BK? ∵AK?BK
∴FC?FD??FK?AK??FK?AK??FK2?AK2② 由①②可知矛盾 ∴AB∥CD
方法二：
因为A,B,C,D四点共圆，不妨设圆心为T，因为OA?OB,TA?TB，所以O,T为AB的中垂线上，同理
OC?OD,TC?TD，所以OT为CD的中垂线，所以AB∥CD．
?x?acost23．⑴ ? （t均为参数）
y?1?asint?∴x2??y?1??a2 ①
21?为圆心，a为半径的圆．方程为x2?y2?2y?1?a2?0 ∴C1为以?0，∵x2?y2??2，y??sin? ∴?2?2?sin??1?a2?0 ⑵ C2：??4cos?
两边同乘?得?2?4?cos???2?x2?y2，?cos??x
即为C1的极坐标方程
?x2?y2?4x 即?x?2??y2?4 ②
2C3：化为普通方程为y?2x
由题意：C1和C2的公共方程所在直线即为C3 ①—②得：4x?2y?1?a2?0，即为C3 ∴1?a2?0 ∴a?1
24．⑴ 如图所示：
??x?4，x≤?1?3?⑵ f?x???3x?2，?1?x?
2?3?4?x，x≥??2f?x??1
当x≤?1，x?4?1，解得x?5或x?3 ∴x≤?1
31，3x?2?1，解得x?1或x? 2313∴?1?x?或1?x?
323当x≥，4?x?1，解得x?5或x?3
23∴≤x?3或x?5 21综上，x?或1?x?3或x?5
31??∴f?x??1，解集为???，???1，3???5，???
3??当?1?x?