平面三角形与空间四面体之间的类比
山西原平一中 任所怀
“类比是伟大的引路人，求解立体几何问题往往有赖于平面几何中的类比问题”（波利亚）。新教材中引入类比这一内容，从根本上改变了我以往对数学的看法。虽然我以前也知道到类比，但却不敢把它作为一种数学方法理直气壮地在课堂上讲授，让学生使用。如今总算可以放开手脚，大胆应用了。
在教学中，我进行了多种对象的类比。在我的启发下，学生也主动进行了研究。平面三角形与空间四面体是一组典型的类比对象。现把我和学生的一些研究总结如下，希望能与更多的同仁进行探究。 首先，平面三角形是平面几何中的一个基本图形，而四面体是立体几何中的一个基本图形。二者之间有着密切的联系，同时它们之间的联系体现了平面与空间的联系，一维空间与二维空间的联系，进一步可能有助于对多维空间的理解。
一、从概念上看：三角形是边数最少的多边形，四面体是面数最少的多面体。 二、三角形的任意两边之和大于第三边。四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积。
三、任意一个三角形都有一个外接圆，即不共线三点确定一个圆，这个圆圆心称为三角形的外心，外心是各边垂直平分线的交点，外心到三角形各顶点距离相等。任意一个四面体都有一个外接球，即不共面四点确定一个球；这个球的球心在四面体各个面内的射影是各个面的外心，且它到四面体各顶点的距离也相等。
四、任意一个三角形都有一个内切圆，圆心称为三角形的内心，内心到各边距离相等，是三内角平分线的交点；且设三角形的周长为c,内切圆半径为r,则三角形的面积为
。任意一个四面体都有一个内切球，球心到各个面的距离相等，是从六条棱出发
的六个二面角的平分面的交点。且设四面体的表面积为S,内切球半径为R，则四面体的体积
为。
五、正三角形棱长为a时，周长为3a,面积为，高为，外接圆半径为，
内切圆半径为。外接圆半径是内切圆半径的2倍。
正四面体棱长为a时，表面积为，高为，外接球半径为，
内切接球半径为。外接球半径是内切球半径的3倍。
六、任意三角形的三条中线交于一点，称为三角形的重心，重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。（重心定理）如图1所示：G为
的重心。且
任意四面体的顶点与对面重心的连线交于一点，正是四面体的物理重心，且四面体的重心到顶点的距离是它到对面重心距离的3倍。（重心定理的推广）
如图2所示： E，F分别为A-BCD的重心。
，则它的重心坐标为
的重心，AE与BF相交于点G，则G为四面体
七、三角形中三个顶点的坐标分别为
。向量证明
四面体中四个顶点的坐标分别为的重心坐标为
，
，则它
。
八、三角形中有余弦定理：
。
在四面体A-BCD中，顶点A,B,C,D所对底面面积分别为各棱为棱的二面角大小分别为
。则有
。
余弦定理证明如下： 证明：在
中利用射影定理有
；以四面体的
由上面三式得：
命题得证。
空间中的余弦定理类比证明如下： 证明：由空间的射影定理知 H为点A在平面BCD中的射影，则
同理有：
于是有
=+
+所以：
。
点评：在上面的推理论证中，我们不光从已知、结论上进行了类比，而且对证明过程也进行了类比。充分体现了类比的“引路人”作用。
九、在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。这是勾股定理，它是余弦定理的一种特殊情形。于是可利用余弦定理证明。
在有三个面两两互相垂直的四面体中，三个“直角面”的面积平方和等于“斜面”的面积平方。这是推广的勾股定理，它也正好是前面推扩的余弦定理的特殊情形。于是它可利用推广的余弦定理证明。
十、三角形中有正弦定理：
证明：在于是有
中，有 即：
。
同理可证：。
，则
而在四面体ABCD中，设棱AB与面ACD，面BCD所成角分别为
。
证明：如图4：作AH垂直平面BCD，H为垂足。则
所以AH=AB
。
就是AB与平面BCD所成角
。
所以
同理：
所以
十一、已知点O是
即。
内任意一点，连接AO,BO,CO并延长交对边于A’，B’，C’，
则
证明：如图5所示，
。
因为与同底，所以
同理：所以
；
而在空间四面体ABCD中也可有类似命题：已知点O是四面体ABCD内任意一点，连接
AO,BO,CO,DO并延长交对面于A’，B’，C’，D’, 则
证明：如图6所示，
。
因为三棱锥O-BCD与三棱锥A-BCD同底; 所以
同理：；
所以