24．（14分）（2016?内蒙古）如图所示，抛物线y=ax2﹣x+c经过原点O与点A（6，0）两点，过点A作AC⊥x轴，交直线y=2x﹣2于点C，且直线y=2x﹣2与x轴交于点D．
（1）求抛物线的解析式，并求出点C和点D的坐标；
（2）求点A关于直线y=2x﹣2的对称点A′的坐标，并判断点A′是否在抛物线上，并说明理由；
（3）点P（x，y）是抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交线段CA′于点Q，设线段PQ的长为l，求l与x的函数关系式及l的最大值．
【分析】（1）把O、A代入抛物线解析式即可求出a、c，令y=0，即可求出D坐标，根据A、C两点横坐标相等，即可求出点C坐标．
（2）过点A′作AF⊥x轴于点F，求出A′F、FO即可解决问题．
（3）设点P（x，x2﹣x），先求出直线A′C的解析式，再构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．
【解答】解：（1）把点O（0，0），A（6，0）代入y=ax2﹣x+c，得解得
，
，
∴抛物线解析式为y=x2﹣x．
当x=6时，y=2×6﹣2=10，
当y=0时，2x﹣2=0，解得x=1， ∴点C坐标（6，10），点D的坐标（1，0） （2）过点A′作AF⊥x轴于点F， ∵点D（1，0），A（6，0），可得AD=5， 在Rt△ACD中，CD=
=5
，
∵点A与点A′关于直线y=2x﹣2对称， ∴∠AED=90°， ∴S△ADC=×解得AE=2
?AE=×5×10，
，
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∴AA′=2AE=4，DE==，
∵∠AED=∠AFA′=90°，∠DAE=∠A′AF， ∴△ADE∽△AA′F， ∴
=
=
，
解得AF=4，A′F=8， ∴OF=8﹣6=2，
∴点A′坐标为（﹣2，4），
当x=﹣2时，y=×4﹣×（﹣2）=4， ∴A′在抛物线上．
（3）∵点P在抛物线上，则点P（x，x2﹣x）， 设直线A′C的解析式为y=kx+b， ∵直线A经过A′（﹣2，4），C（6，10）两点， ∴
，解得
，
∴直线A′C的解析式为y=x+，
），
∵点Q在直线A′C上，PQ∥AC，点Q的坐标为（x，x+∵PQ∥AC，又点Q在点P上方， ∴l=（x+
）﹣（x2﹣x）=﹣x2+x+
，
∴l与x的函数关系式为l=﹣x2+x+∵l=﹣x2+x+
=﹣（x﹣）2+
．
，（﹣2＜x≤6）， ，
∴当x=时，l的最大值为
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参与本试卷答题和审题的老师有：CJX；心若在；zgm666；zjx111；sjzx；lantin；星月相随；522286788；王学峰；三界无我；星期八；曹先生；nhx600；张其铎；sks；1286697702；梁宝华；HJJ；守拙；弯弯的小河（排名不分先后） 菁优网
2016年9月21日
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