2010年高考数学试题分类汇编——数列
（2010上海文数）21.(本题满分14分)本题共有2个小题，第一个小题满分6分，第2个小题满分8分。
*已知数列?an?的前n项和为Sn，且Sn?n?5an?85，n?N
(1)证明：?an?1?是等比数列；
(2)求数列?Sn?的通项公式，并求出使得Sn?1?Sn成立的最小正整数n.
5解析：(1) 当n?1时，a1??14；当n≥2时，an?Sn?Sn?1??5an?5an?1?1，所以an?1?(an?1?1)，
6又a1?1??15≠0，所以数列{an?1}是等比数列； ?5?an?1??15???(2) 由(1)知：
?6??5?由Sn?1>Sn，得???6?n?1n?1?5?15???，得an?1??6?n?1?5?，从而Sn?75????6?n?1?n?90(n?N*)；
?22，n?log5?1?14.9，最小正整数n?15． 5256
（2010湖南文数）20.（本小题满分13分）
给出下面的数表序列：
其中表n（n=1,2,3 ?）有n行，第1行的n个数是1,3,5，?2n-1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和。
（I）写出表4，验证表4各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n（n≥3）（不要求证明）；
（II）每个数列中最后一行都只有一个数，它们构成数列1,4,12?，记此数列为
?bn? 求和：
b3bb?4??n?2 b1b2b2b3bnbn?1
（2010全国卷2理数）（18）（本小题满分12分）
23n． 已知数列?an?的前n项和Sn?(n?n)?（Ⅰ）求liman；
n??Sn（Ⅱ）证明：
ana1a2??…?＞3n． 22212n【命题意图】本试题主要考查数列基本公式an???s1(n?1)?sn?sn?1(n?2)的运用，数列极限和数列不
等式的证明，考查考生运用所学知识解决问题的能力.
【参考答案】
【点评】2010年高考数学全国I、Ⅱ这两套试卷都将数列题前置,一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式，具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用，也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心. 估计以后的高考，对数列的考查主要涉及数列的基本公式、基本性质、递推数列、数列求和、数列极限、简单的数列不等式证明等，这种考查方式还要持续.
（2010陕西文数）16.（本小题满分12分）
已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列.
an （Ⅰ）求数列{an}的通项; （Ⅱ）求数列{2}的前n项和Sn. 解 （Ⅰ）由题设知公差d≠0，
由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列得
1?2d1?8d＝， 11?2d解得d＝1，d＝0（舍去）， 故{an}的通项an＝1+（n－1）×1＝n. (Ⅱ)由（Ⅰ）知2am=2，由等比数列前n项和公式得
n
2(1?2n)n+1
Sm=2+2+2+…+2==2-2.
1?22
3
n
（2010全国卷2文数）（18）（本小题满分12分）
已知{an}是各项均为正数的等比数列，且
a1?a2?2(11111?)，a3?a4?a5?64(??) a1a2a3a4a5（Ⅰ）求{an}的通项公式； （Ⅱ）设bn?(an?12)，求数列{bn}的前n项和Tn。 an【解析】本题考查了数列通项、前n项和及方程与方程组的基础知识。 （1）设出公比根据条件列出关于
a1与d的方程求得
a1与d，可求得数列的通项公式。
（2）由（1）中求得数列通项公式，可求出BN的通项公式，由其通项公式化可知其和可分成两个等比数列分别求和即可求得。
（2010江西理数）22. （本小题满分14分） 证明以下命题：
（1） 对任一正整a,都存在整数b,c(b （2） 存在无穷多个互不相似的三角形△n，其边长an，bn，cn为正整数且an，bn，cn成 等差数列。 【解析】作为压轴题，考查数学综合分析问题的能力以及创新能力。 （1）考虑到结构要证a?c?2b，；类似勾股数进行拼凑。 证明：考虑到结构特征，取特值1,5,7满足等差数列，只需取b=5a，c=7a，对一切正整数a均能成立。 结合第一问的特征，将等差数列分解，通过一个可做多种结构分解的因式说明构成三角形，再证明互不相似，且无穷。 证明：当an，bn，cn成等差数列，则bn?an?cn?bn， 分解得：(bn?an)(bn?an)?(cn?bn)(cn?bn) 选取关于n的一个多项式，4n(n?1)做两种途径的分解 222222222222222222224n(n2?1)?(2n?2)(2n2?2n)?(2n2?2n)(2n?2)4n(n2?1) ?an?n2?2n?1?对比目标式，构造?bn?n2?1(n?4)，由第一问结论得，等差数列成立， ?c?n2?2n?1?n