江苏省启东中学2013届高三数学寒假加试训练三
21.B．（矩阵与变换）设M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换．
（Ⅰ）求矩阵M的特征值及相应的特征向量； （Ⅱ）求逆矩阵M
4?x?1?t??5C.（坐标系与参数方程）求直线?（t为参数）被曲线???y??1?3t?5??1以及椭圆
x24?y29?1在M?1的作用下的新曲线的方程．
2cos(???4)所
截的弦长.
?22. 已知斜三棱柱ABC?ABC，?BCA?90，111AC?BC?2，A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点
D，又知BA1?AC1.
（I）求证：AC1?平面A1BC； （II）求CC1到平面A1AB的距离； （III）求二面角A?A1B?C余弦值的大小.
23． 已知抛物线L的方程为x2?2py?p?0?，直线y?x截抛物线L所得弦AB?42． ⑴求p的值；
⑵抛物线L上是否存在异于点A、B的点C，使得经过A、B、C三点的圆和抛物线L在点C处有相同的切线．若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
江苏省启东中学2013届高三数学寒假加试训练三参考答案
?221．B.解：（Ⅰ）由条件得矩阵M???0?0?及??； ?1?0??1?，它的特征值为和，对应的特征向量为32???3??0?（Ⅱ）M?1?1?2???0???0??1?3??，椭圆
x24?y29?1在M?1的作用下的新曲线的方程为x2?y2?1．
4?x?1?t?C．（坐标系与参数方程）求直线?5??y??1?3t?5?4?x?1?t?的弦长，将方程?，??5??y??1?3t?5?（t为参数）被曲线??2cos(???4)所截
2cos(???4 )分别化为普通方程：3x?4y?1?0，
x?y?x?y?0, (5分)
111722圆心C（，－），半径为圆心到直线的距离d＝，弦长＝2r?d?2??.22210210051122 2 21. 解：（I）如图，取AB的中点E，则DE//BC，因为BC?AC， 所以
DE?AC，又A1D?平面ABC， 以DE,DC,DA1为x,y,z轴建立空间坐标系， ????? 则A?0,?1,0?，C?0,1,0?，B?2,1,0?，A1?0,0,t?，C1?0,2,t?，AC1??0,3,t?，
????????????????BA1???2,?1,t?，CB??2,0,0?，由A1C?CB?0，知A1C?CB，又BA1?AC1，从
而AC1?平面A1BC；
?????????2（II）由AC1?BA1??3?t?0，得t?3.
?????????设平面A1AB的法向量为n??x,y,z?，AA1?0,1,3，AB??2,2,0?，所以
??????????n?AA1?y?3z?0，设z?1，则n?????????n?AB?2x?2y?0?3,?3,1
?
??????AC1?n221所以点C1到平面A1AB的距离d?. ??7n
??????????（III）再设平面A1BC的法向量为m??x,y,z?， CB??2,0,0?，CA1?0,?1,3，
??所以 ??????????m?CA1??y?3z?0，设z?1，则m?0,3,1， ???????m?CB?2x?0????????7m?n，根据法向量的方向， cos?m,n???????7m?n??故
可知二面角
A?AB?C的余弦值大小为177
?y?x23． 解：⑴由?2解得A(0,0),B(2p,2p)
x?2py?∴42?AB?4p2?4p2?22p，∴p?2 ………………………………………4 ⑵由⑴得x2?4y,A(0,0),B(4,4) 假设抛物线L上存在异于点A、B的点C(t,t24)(t?0,t?4)，使得经过A、B、C三点的圆和
抛物线L在点C处有相同的切线令圆的圆心为N(a,b)，则由??NA?NB?NA?NC得
2?t?4t?a?b?(a?4)?(b?4)?a?b?4?a?????82得 ………………6 ??2??1t22222t?4t?32?a?b?(a?t)?(b?)?4a?tb?2t?t?b?8?4??8?2222∵抛物线L在点C处的切线斜率k?y?|x?t?b?t2t2(t?0)又该切线与NC垂直，
∴
4?t??1?2a?bt?2t?1t3?0
a?t24t?4t82∴2?(?)?t?t?4t?3282?2t?14t?0?t?2t?8t?0 ……………………8
332∵t?0,t?4，∴t??2故存在点C且坐标为（-2,1） ……………10