课时作业(七十四)
1．ab≥0是|a－b|＝|a|－|b|的( ) A．充分不必要条件 C．充要条件 答案 B
解析 当ab≥0，a 解析 原不等式等价于? ?1＋x>0? ??1－|x|>0 B．必要不充分条件 D．不充分也不必要条件 B．{x|x<0且x≠－1} D．{x|x<1且x≠－1} 或? ?1＋x<0? ??1－|x|<0. 解之得：x<1且x≠－1. 3．若2－m与|m|－3异号，则m的取值范围是( ) A．m>3 C．2 解析 解法一 2－m与|m|－3异号，所以(2－m)·(|m|－3)<0，所以(m－2)(|m|－3)>0， 所以? ?m≥0???B．－3 m－2m－3>0 ，或? ?m<0，???m－2－m－3>0. 解得m>3或0≤m<2或－3 解法二 由选项知，令m＝4符合题意，排除B、C两项，令m＝0可排除A项． 4．已知关于x的不等式|x＋a|＋|x－1|＋a<2011(a是常数)的解是非空集合，则a的取值范围是________． 答案 (－∞，1005) 解析 ∵|x＋a|＋|x－1|的最小值为|a＋1|，由题意|a＋1|<2011－a，解得a<1005. 1 5．若不等式|x＋|>|a－2|＋1对于一切非零实数x均成立，则实数a的取值范围是________． x答案 (1,3) 1 解析 ∵|x＋|≥2，∴|a－2|＋1<2，即|a－2|<1，解得1 x6．(2012·衡水调研)若关于x的不等式|x－a|<1的解集为(1,3)，则实数a的值为________． 1 答案 2 解析 原不等式可化为a－1 7．若不等式|x＋1|＋|x－3|≥a＋对任意的实数x恒成立，则实数a的取值范围是________． a答案 {a∈R|a<0或a＝2} 4 解析 因为|x＋1|＋|x－3|≥4，所以由题意可得a＋≤4恒成立，当a<0时显然恒成立；当 aa>0时，由基本不等式可知a＋≥4，所以只有a＝2时成立，所以实数a的取值范围为{a∈R|a<0 a或a＝2}． 8．(2011·陕西理)若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在实数解，则实数a的取值范围是________． 答案 (－∞，－3]∪[3，＋∞) 解析 由于|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，所以只需|a|≥3即可，所以a≥3或a≤－3. 9．若a、b∈R，则使|a|＋|b|>1成立的一个充分不必要条件是________． 答案 b<－1 10．设f(x)＝x2－x＋1，实数a满足|x－a|<1，求证：|f(x)－f(a)|<2(|a|＋1)． 证明 ∵f(x)＝x2－x＋1， ∴|f(x)－f(a)|＝|x2－x－a2＋a| ＝|x－a|·|x＋a－1|<|x＋a－1|， ∵|x＋a－1|＝|(x－a)＋2a－1|≤|x－a|＋|2a－1|<1＋|2a|＋1＝2(|a|＋1)， ∴|f(x)－f(a)|<2(|a|＋1)． 11．(2011·福建理)设不等式|2x－1|<1的解集为M. (Ⅰ)求集合M； (Ⅱ)若a，b∈M，试比较ab＋1与a＋b的大小． 解析 (Ⅰ)由|2x－1|<1得－1<2x－1<1，解得0 (Ⅱ)由(Ⅰ)和a，b∈M可知0 所以(ab＋1)－(a＋b)＝(a－1)(b－1)>0，故ab＋1>a＋b. 12．设函数f(x)＝|2x＋1|－|x－4| (1)解不等式f(x)>2； (2)求函数f(x)的最小值． 解析 (1)令y＝|2x＋1|－|x－4|，则 4 2 ? 1y＝?3x－3 － ?x＋5 x≥4 －x－5 x≤－ 12 5 作出函数y＝|2x＋1|－|x－4|的图像，它与直线y＝2的交点为(－7,2)和(，2)． 35 所以|2x＋1|－|x－4|>2的解集为(－∞，－7)∪(，＋∞)； 3 1 (2)由函数y＝|2x＋1|－|x－4|的图图像可知，当x＝－时，y＝|2x＋1|－|x－4|取得最小值 29－. 2 13．(2011·新课标全国理)设函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a>0. (Ⅰ)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋2的解集； (Ⅱ)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值． 解析 (Ⅰ)当a＝1时，f(x)≥3x＋2可化为|x－1|≥2. 由此可得x≥3或x≤－1. 故不等式f(x)≥3x＋2的解集为 {x|x≥3或x≤－1}． (Ⅱ)由f(x)≤0得|x－a|＋3x≤0. 此不等式化为不等式组 ??x≥a? ?x－a＋3x≤0? ??x≤a或? ?a－x＋3x≤0? 3 x≥a，??即?ax≤，??4 ax≤a，?? 或?ax≤－.?2? 因为a>0，所以不等式组的解集为{x|x≤－}． 2由题设可得－＝－1，故a＝2. 2 a 4