章末复习课
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1．正确区分“分类”与“分步”，恰当地进行分类，使分类后不重、不漏．
2．正确区分是组合问题还是排列问题，要把“定序”和“有序”区分开来．
3．正确区分分堆问题和分配问题．
kn－kk
4．二项式定理的通项公式Tk＋1＝Cnab是第(k＋1)项，而不是
第k项，注意其指数规律．
5．求二项式展开式中的特定项(如：系数最大的项、二项式系数最大的项、常数项、含某未知数的次数最高的项、有理项……)时，要注意n与k的取值范围．
6．注意区分“某项的系数”与“某项的二项式系数”，展开式中“二项式系数的和”与“各项系数的和”，“奇(偶)数项系数的和”与“奇(偶)次项系数的和”．
专题一 两个计数原理的应用
分类加法计数原理和分步乘法计数原理是本章知识的基础，应用两个计数原理解决应用问题时主要考虑三方面的问题：(1)要做什么事；(2)如何去做这件事；(3)怎样才算把这件事完成了．并注意计数原则：分类用加法，分步用乘法．
[例1] 现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两部分不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有( )
高 中 数 学 A.144种 C．64种
B．72种 D．84种
解析：法一 根据所用颜色的种数分类
4第一类：用4种颜色涂，方法有A4＝4×3×2×1＝24(种)． 1第二类：用3种颜色，必须有一条对角区域涂同色，方法有C12C4
2
A3＝48(种)．
2
第三类：用2种颜色，对角区域各涂一色，方法有A4＝12(种)．
根据加法原理，不同的涂色方法共有24＋48＋12＝84(种)． 法二 根据“高”“学”是否为同色分类
1第一类：区域“高”与“学”同色，从4色中选1色，有C4种
方法，其余区域“中”“数”各有3种方法，共有4×3×3＝36(种)．
第二类：区域“高”与“学”不同色，区域“高”有4种方法，区域“学”有3种方法，区域“中”“数”各有2种方法，共有4×3×2×2＝48(种)．
根据加法原理，方法共有36＋48＝84(种)． 答案：D
归纳升华
1.对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理又要运用分步乘法计数原理的问题，我们可以恰当地画出示意图或列出表格，使问题更加直观、清晰．
2．当两个原理混合使用时，一般是先分类，在每类方法里再分步．
[变式训练] 在∠AOB的OA边上取3个点，在OB边上取4个点(均除O点外)，连同O点共8个点，现任取其中三个点为顶点作三角形，可作的三角形有( )
A．48 C．36
B．42 D．32
解析：分三类：第一类：从OA边上(不包括O)任取一点与从OB
12边上(不包括O)任取两点，可构造一个三角形，有C3C4个；
第二类：从OA边上(不包括O)任取两点与OB边上(不包括O)
21任取一点，可构造一个三角形，有C3C4个；
第三类：从OA边上(不包括O)任取一点与OB边上(不包括O)
11任取一点，与O点可构造一个三角形，有C3C4个．
1211
由分类加法计数原理，可作的三角形共有N＝C3C4＋C23C4＋C3
1
C4＝42(个)．
答案：B
专题二 排列组合应用题
排列组合应用题是高考的一个重点内容，常与实际问题相结合进行考查．要认真阅读题干，明确问题本质，利用排列组合的相关公式与方法解题．
1．合理分类，准确分步．
[例2] 5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员．现从中选出3名队员排成1，2，3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员且1、2号中至少有1名新队员的排法有________种(用数字作答)．
123
解析：①只有1名老队员的排法有C2C3A3＝36(种)．②有2名老2112
队员的排法有C2C3C2A2＝12(种)．所以共有36＋12＝48(种)．
答案：48
2．特殊优先，一般在后．
[例3] 将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有________种(用数字作答)．
5
解析：①当C在第一或第六位时，排法有A5＝120(种)； 3②当C在第二或第五位时，排法有A24A3＝72(种)； 323③当C在第三或第四位时，排法有A22A3＋A3A3＝48(种)．
所以排法共有2×(120＋72＋48)＝480(种)． 答案：480
3．直接间接，灵活选择．
[例4] 10件产品中有2件合格品，8件优质品，从中任意取4件，至少有1件是合格品的抽法有________种．
解析：法一 抽取的4件产品至少有1件合格品分为有1件合格
13
品、2件合格品2种情况：有1件合格品的抽法有C2C8种；有2件合22格品抽法有C2C8种．根据分类加法计数原理至少有1件合格品的抽322法共有C12C8＋C2C8＝140(种)．
法二 从10件产品中任意抽取4件，有C410种抽法，其中没有
44合格品的抽法有C8种，因此至少有1件合格品的抽法有C10－C48＝210
－70＝140(种)．
答案：140
4．元素相邻，捆绑为一．
[例5] 用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，则其中数字2，3相邻的偶数有________个(用数字作答)．
解析：数字2和3相邻的偶数有两种情况．第一种情况，当数字2在个位上时，则3必定在十位上，此时这样的五位数共有6个；第二种情况，当数字4在个位上时，且2，3必须相邻，此时满足要求
23
的五位数有A2A3＝12(个)，则一共有6＋12＝18(个)．
答案：18
5．元素相间，插空解决．
[例6] 一条长椅上有7个座位，4个人坐，要求3个空位中，恰有2个空位相邻，共有________种不同的坐法．
4
解析：先让4人坐在4个位置上，有A4种排法，再让2个元素(一
个是两个空位作为一个整体，另一个是单独的空位)插入4个人形成
42
的5个“空挡”之间，有A2所以所求的坐法数为A4A5＝480. 5种插法，
答案：480
6．分组问题，消除顺序．
[例7] 某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为________．
C24解析：把新转来的4名学生平均分两组，每组2人，分法有2＝
A2
3(种)，把这两组人安排到6个班中的某2个班中去，有A26种方法，故不同的安排种数为3A26＝90.
答案：90 归纳升华