2010-2011学年度第二学期高二期中考试（四校联考）
数学参考答案及评分标准
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在答题卡相应的位置上. ．．．．．．．．．1. 集合A??0,2?，B?1,a2，若A?B??0,1,2,4?，则正实数a的值为 ▲ ．2 ．2. 命题“?x?R,x2?2x?1?0”的否定是 ▲ ．?x?R,x2?2x?1?0 3. 设i是虚数单位，若z???11?ai是实数，则实数a? ▲ ．； 1?i21<1，则?p是q的 充分不必要 条件． x4. 已知条件p:x≤1，条件q：
5. 若z?1?1，则z?2i?1的最大值为 3 ．
6. 设函数f?x??x2?lnx，若曲线y?f?x?在点1,f?1?处的切线方程为y?ax?b，则
??a?b? ▲ ． 1
(cosx)???sinx，7. 观察(x2)??2x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)(x4)??4x3，
满足f(?x)?f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(?x)与g(x)的关系是 ▲ ．（g(?x)+g(x)=0）
8. 若f(x)是偶函数,且当x?[0,??)时,f(x)?x?1,则f(x?1)?0的解集是 . 0?x?2
9. 观察下式：1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52，4+5+6+7+8+9+10=72，?，则可得出一般结
论： n+(n+1)+?+(3n－2)=(2n－1)2 ．
x10. 若函数f(x)?k?2x（k为常数）在定义域上为奇函数，则k = ▲ ．?1
1?k?21111. 设a，b，c均为正数，且2a?log1a，()b?log1b，()c?log2c．则a，b，c的大小
2222关系是__________________．a?b?c
312. 设函数f(x)?x?x，若0????2时，f(mcos?)?f(1?m)?0恒成立，则实数m的
取值范围是 . (－∞，1)
第 1 页 共 8 页
13. 若{an}是等差数列，m,n,p是互不相等的正整数，则有：
(m?n)pa?(n?mp)a?(?pn，?类)ma比上述性质，相应地，对等比数列{bn}，
?nn?pp?m有 . bm?1 pbmbn14. 设M是由满足下列性质的函数f?x?构成的集合：在定义域内存．在．x0，使得
f?x0?1??f?x0??f?1?成立．已知下列函数：①f?x??f1x；②f?x??2；③x?x??lg?2x?2?；④f?x??cos?x，其中属于集合M的函数是 ▲ （写出所有满足要求的函数的序号）．②④
二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. （本题满分14分.本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分.）
(0?x?c)，?cx?1，?已知函数f(x)???x满足f(c2)?9．
8c2? (c≤x?1)?2?1，（1）求常数c的值；
（2）解不等式f(x)?2?1．
8（1）由题意知0 所以9?f(c2)?c?c2?1?c3?1，即c3?1，故c?1. ??????????5分 2881?1x?1， (0?x?)，??22（2）由（1）得f(x)?? ??????????6分 1?2?4x?1， (≤x?1).??2?12，?2x?1?8?1解不等式组?得2?x?1. ??????????9分 42?0?x?1?2??4x2?2?1?8?1，1解不等式组?得≤x?5. ????????? 12分 28?1≤x?1?2所以不等式f(x)?2?1的解集为2，1??1，5?842??28第 2 页 共 8 页 ??5. ?????? 14分 ???42，8 16 .（本题满分14分.本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.） 已知函数f?x??x?2a(x?0,a?R). x⑴判断函数f?x?的奇偶性； ⑵若f?x?在区间?2,???是增函数，求实数a的取值范围. 解：（1）当a?0时， f?x??x2?x?0?， ?f??x??f?x?，故f?x?为偶函数；??????????????3分 当a?0时，f?1??1?a,f??1??1?a， ?f??1??f?1?且f??1???f?1?， f?x?既不是奇函数也不是偶函数. ?????????????????7分 （此处请严格按评分标准给分！） （2）设x2?x1?2，f?x1??f?x2??x1?2aa2?x2? x1x2?x1?x2?x1x2?x1?x2??a?，???????????????????10分 x1x2由x2?x1?2得x1x2?x1?x2??16，x1?x2?0,x1x2?0 要使f?x?在区间?2,???是增函数只需f?x1??f?x2??0， 即x1x2?x1?x2??a?0恒成立，则a?16.????????????14分 另解（导数法）：f'?x??2x?a，????????????????9分 x2要使f?x?在区间?2,???是增函数，只需当x?2时，f'?x??0恒成立，????12分 即2x?a3?0，则a?2x??16,???恒成立， 2x故当a?16时，f?x?在区间?2,???是增函数.????????????14分 第 3 页 共 8 页 17 . （本题满分14分.本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分.） 某种出口产品的关税税率t、市场价格x(单位：千元)与市场供应量p(单位：万件)之间近似满足关系式：p?2，其中k、b均为常数．当关税税率为75%时，若市场价格为5千元，则市场供应量约为1万件；若市场价格为7千元，则市场供应量约为2万件． （1）试确定k、b的值； （2）市场需求量q(单位：万件)与市场价格x近似满足关系式：q?2?x．p?q时，市场价格称为市场平衡价格．当市场平衡价格不超过4千元时，试确定关税税率的最大值． (1?0.75k)(5?b)2???1?2?(1?0.75k)(5?b)?0解：(1)由已知，? ???3分 ??2(1?0.75k)(7?b)2???(1?0.75k)(7?b)?1?2?2 解得b?5，k?1 ????????????5分 2(1?kt)(x?b)2(1?t)(x?5)(2)当p?q时，2?2?x ??????????7分 2∴(1?t)(x?5)??x?t?1?2x?1?2(x?5)1 ??????10分 25x??10x 而f(x)?x?25在(0，4]上单调递减 x41 ??????????12分 4故当x?4时，关税税率的最大值为500%． ???????????? 14分 18．（本题满分16分.本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分.） ∴当x?4时，f (x)有最大值 已知过原点O的一条直线与函数y?log8x的图象交于A、B两点，分别过A、B作y轴的平行线与函数y?log2x的图象交于C、D两点. （1）证明点C、D和原点O在同一条直线上； （2）当BC平行于x轴时，求点A的坐标. （1）证明：设A、B?y?log8x的曲线上 ?A(a，log8a)，B(b，logab) ?AC?x轴，BD?x轴??????????????3分 ?C(a，log2a)，D(b，log2b)第 4 页 共 8 页 ?kOA?kOBlog8alog8b?ab11log2alog2b ?3???????????????????6分 ?3ablog2alog2b??ab?kOC?kOD? ?O、C、D三点共线???????????????????8分 （2）解：?BC//x轴 ?yC?yB ?log2a?log8b?log2a?1log2b??????????10分 3?a3?blog2alog2blog2a33log2a??? 由(1)知 abbb?b?3a?? ?b?a3????????????????????? 13分 ?3a?a3 ?a?3 2?a?3 ????????????????? 16分 1?A(3，log23)6 19. （本题满分16分.本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分,第3小题满分6分.） 设二次函数f(x)?x2?bx?c(b,c?R),己知不论?,?为何实数，恒有 f(sin?)?0,f(2?cos?)?0 （1）求证：b?c??1 第 5 页 共 8 页