g3.1080双曲线
一、知识要点 1.双曲线的定义
(1)双曲线的第一定义:平面内与两定点F1、F2的距离差的绝对值等于常数2a(0<2a<｜F1F2｜)的点的轨迹叫双曲线.两定点F1、F2是焦点，两焦点间的距离｜F1F2｜是焦距，用2c表示.常数用2a表示.
(2)双曲线的第二定义:若点M到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个常数e(e>1) 2.双曲线的标准方程
x2y2(1)焦点在x轴上:2?2?1(a?0,b?0),焦点坐标为F1(-c,0),F2(c,0),
abc?a2?b2.
y2x2(2)焦点在y轴上: 2?2?1(a?0,b?0),焦点坐标为F1(0,-c),F2(0,c).
abc?a2?b2.
x2y23.双曲线简单几何性质:以标准方程2?2?1(a?0,b?0)为例.
ab(1)范围:|x|≥a;即x≥a,x≤-a.
(2)对称性:对称轴为x=0,y=0;对称中心为O(0,0).
(3)顶点:A1(-a,0),A2(a,0)为双曲线的两个顶点;线段A1A2叫双曲线的实轴,B1B2叫双曲线的虚轴,其中B1(0,b),B2(0,b).|A1A2|=2a,|B1B2|=2b.
b(4)渐近线:双曲线渐近线的方程为y=?x;
aa2(5)准线:x=?;
cc,e>1. a4.等轴双曲线:x2-y2=±a2,实轴长等于虚轴长,其渐近线方程为y=±x,离心率
(6)离心率:e=
e=2 二、基本训练
1．平面内有两个定点F1,F2和一动点M，设命题甲，||MF1|?|MF2||是定值，
命题乙：点M的轨迹是双曲线，则命题甲是命题乙的 （ ）
(A)充分但不必要条件 (C)充要条件
(B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件
2．双曲线和它的共轭双曲线的离心率分别为e1,e2，则e1,e2应满足的关系是
（ ）
(A)e1?e2?1
(C)22(B)e1?e2?1 (D)221e12?1e22?1
1e12?1e22?1
3．直线y?ax 与双曲线(x?1)(y?1)?2(x?0)有公共点时，a的取值范围是（ ）
(A)?3?22?a?0
(B)a??3?22 (C)?3?22?a??3?22 (D)以上都不正确
P是曲线x2?y2?1(x?0)上一点，4．已知A(2,1),F(2,0)，当|PA|?2|PF|2取最小值时，P的坐标是__(2,0)___，|PA|?是 ．
2|PF|最小值2x2y2??1的左、右焦点，AB是双曲线左支上 5．如果F1,F2分别是双曲线
169过点F1的弦，且|AB|?6，则?ABF2的周长是___________．
三、例题分析
例1 (05重庆卷) 已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为
(3,0)。
(1) 求双曲线C的方程；
(2) 若直线l：y?kx?2与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且
OA?OB?2(其中O为原点)，求k的取值范围。
?x2y2??1(＜θ＜π)过点A(43,4).(1)求实例2 已知双曲线
224tan?16cot?轴、虚轴的长；(2)求离心率；(3)求顶点坐标；(4)求点A的焦半径.
x2y2??1的右焦点作倾角为45°的弦，求弦AB的中点C例3.过双曲线
916到右焦点F的距离，并求弦AB的长.
x2y2例4.已知双曲线2?2?1(a?0,b?0)的离心率e>1+2,左,右焦点分别为
abF1,F2,左准线为l1,能否在双曲线的左支上找到一点P,使得|PF1|是P到l的距离d与|PF2|的等比中项?
例5是否同时存在满足下列条件的双曲线，若存在，求出其方程，若不存在，
说明理由．
5,0)到双曲线上动点P （1）渐近线方程为x?2y?0,x?2y?0，（2）点A(的距离最小值为6．
四、作业 同步练习 g3.1080双曲线
x2y2??1长轴的两个端点为焦点，其准线1（05天津卷）设双曲线以椭圆
259
过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为 （ ）
41A．?2 B．? C．?
32D．?3 4
2共轭双曲线的离心率分别为e1与e2，则e1与e2的关系为： （ ） A、e1=e2 B、e1e2=1 C、?1e1111?1 D、2?2?1 e2e1e2y2x2??1表示双曲线，则实数k的取值范围是： 3若方程
|k|?25?k（ ）
A、(??,?2)?(2,5) B、(?2,5) C、(??,?2)?(5,??) D、
(?2,2)?(5,??)
4（05江西卷）以下四个关于圆锥曲线的命题中：
???????? ①设A、B为两个定点，k为非零常数，|PA|?|PB|?k，则动点P的轨
迹为双曲线；
②过定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，O为坐标原点，若????1????????OP?(OA?OB),则动点P的轨迹为椭圆；
2③方程2x2?5x?2?0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
x2y2x2??1与椭圆?y2?1有相同的焦点. ④双曲线
25935
其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）
5（05上海）若双曲线的渐近线方程为y??3x，它的一个焦点是(10,0)，则双曲线的方程是__________。
x2y26（05山东卷）设双曲线2?2?1(a?0,b?0)的右焦点为F，右准线l与两
ab条渐近线交于P、Q两点，如果?PQF是直角三角形，则双曲线的离心率
e?___________
x2y2??1上一点P的两条焦半径夹角为60?，F1,F2为焦点，则7．双曲线
2516?PF1F2的面积为_________________．
8．与圆(x?3)2?y2?1及圆(x?3)2?y2?9 都外切的圆的圆心轨迹方程为
_____________________．
x2y2??1有且只有一个公共点，9．过点(0,3)作直线l，如果它与双曲线43则直线l的条数是____________________．.
10一椭圆其中心在原点，焦点在同一坐标轴上，焦距为213，一双曲线和这椭圆有公共焦点,且双曲线的半实轴比椭圆的长半轴长小4，且双曲线的离心率与椭圆的离心率之比为7:3，求椭圆和双曲线的方程．
x2y211设双曲线2?2?1两焦点F1(?c,0),F2(c,0)，点P为双曲线右支上除顶
ab点外的任一点，?PF1F2??,?PF2F1??，求证：tan?2?cot?2?c?a． c?a12．已知双曲线C的两个焦点为F1,F2，实半轴长与虚半轴长的乘积为3，直线l过点F2，且与线段F1F2的夹角为?，tan??21，直线l与线段2F1F2的垂直平分线的交点为P，线段PF2与双曲线的交点为Q，且
?????????PQ?2QF2，求双曲线方程．