数字信号处理讲义
实验三 离散系统分析
实验目的：
通过用Matlab实现信号的分析和表示方法，掌握离散系统的分析方法。 实验任务：
1. 了解系统的Matlab描述和转换
2. 掌握分析线性时不变系统的方法，并编程实现。
给定系统H(z)=-0.2z/(z2+0.8),
(1) 求出H(z)的幅频响应和相频响应； (2) 绘制极零点图；
(3) 求出并绘出该系统的单位抽样响应；
(4) 令x(n)=u(n)，求出并绘出系统的单位阶跃响应y(n)。
MATLAB系统的描述和转换
MATLAB的信号处理工具提供了几种线性时不变系统的模型，我们可以灵活的选择合适的模型以满足不同应用场合的需要。信号处理工具箱提供的离散时间系统模型常用于数字滤波器，这些模型包括传递函数、零极点增益形式、状态空间形式、部分分式、二阶级联形式、格状结构和卷积矩阵等。
1．传递函数形式
在MATLAB信号处理工具箱中，数字滤波器的传递函数具有以下形式：
b(1)?b(2)z?2?...?b(nb?1)z?nbH(z)?????(式3?1)
a(1)?a(2)z?2?...?a(na?1)z?na这种形式称为DSP（Digital Signal Processing）,它和控制工具箱的z传递函数模型形式不同。这一模型用z传递函数分子和分母多项式
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的系数构成两个向量来确定，即
num=[b(1) b(2)…b(nb+1)] den=[a(1) a(2)…a(na+1)]
式中nb和na分别为分子num和den的阶数
在MATLAB中，要定义一个DSP形式的传递函数可利用FILT。调用格式：
sys=filt(num,den) sys=filt(num,den,Ts) 2．零极点增益形式
在MATLAB信号处理工具箱中，离散时间系统（数字滤波器）的零极点形式具有以下形式：
H(z)?(z?q1)(z?q2)...(z?qn)q(z)?K????(式2?2) p(z)(z?p1)(z?p2)...(z?pn)这一模型用零点向量和极点向量及增益来表示，即
q(z)=[q(1) ,q(2),…,q(n)] p(z)=[p(1) ,p(2),…,p(n)]
MATLAB函数poly和roots可实现传递函数形式和零极点增益形式的转换。 3．状态空间形式
离散系统的状态空间表达式为： x(n+1)=Ax(n)+Bu(n) y(n)=Cx(n)+Du(n)
式中，u为输入，y为输出,x为状态向量。
在MATLAB信号处理工具箱中，用矩阵A、B、C、D表示数字滤波器模型（和控制工具箱一样）
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MATLAB信号处理工具箱还提供传递函数、零极点和状态空间三种模型之间的相互转换函数，它们是zp2ft、zp2ss 、tf2ss、 tf2zp、ss2tf和 ss2zp
4．部分分式
离散时间系统（数字滤波器）的传递函数H(z)也可以用下面部分分式展开来
描述：（1）若H(z)部包含重极点
H(z)?rnr1r21b(z)?????＋k1＋k2z－1＋?＋km?n?1z－(m?n)?1?1?1a(z)1?p1z1?p2z1?pnz?????????????????????????????（式3－3）
（2）若H(z)包含多重极点，如p(j)有Sr个重极点，H(z)部分分式展开
式
中
包
含
相
应
?1Sr的形式为：
rj1?pjz?1?rj?1(1?pjz)?12???rj?Sr?1(1?pjz) ??（式3－4）MATLAB信号处理工具箱中，函数RESIDUEZ()用来把传递函数形式转变为部分分式展开式。
调用格式为：
[r,p,k]=residuez(b,a)
其中，b,a分别为z传递函数的分子、分母；p为传递函数极点向量；r为相应极点的留数向量；k为传递函数商向量。若原传递函数为真分数，此项为空向量。
Residuez也可用于将部分分式展开式转换为传递函数形式，调用格式为：
[b,a]=residuez(r,p,k)
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可用函数residuez将H(z)展成部分分式的形式，然后利用公式直接求H(z)的z反变换。
5．二阶级联形式
任何传递函数可写为二阶因子级联形式，即
b0k?b1kz－1＋b2kz－2 H(z)??Hk(z)?????（式3－5）－1－2a0k?a1kz＋a2kzk?1L即H(z)可以化成多个二阶因式相乘，L为二阶因式的个数。这样一个离散系统可用一个L×6的数组SOS表示，每一行表示一个二阶因子，
?b01?b02分子三个系数和分母三个系数。 SOS??????b0Lb11b12?b1Lb21b22?b2La01a02?a0La11a12?a1La12?a22?? ???a2L?这种形式用于滤波器的二阶节级联结构中。MATLAB中提供了一般模型和SOS形式的相互转换函数zp2sos、sos2zp、sos2os、sos2tf、
6．格状结构
滤波器的实现通常采用格状结构。对于N阶全零点和全极点滤波器采用格
型结构，可以用多项式a(n),n=1,2…,N来描述，也可以通过格型结构反射系数k(n)，n=1,2,..,N来描述。
MATLAB信号处理工具箱提供了滤波器格状结构和转换函数latcfilt、poly2rc、rc2poly、latc2tf和tf2latc。
7．卷积矩阵
若两个向量x和h，满足下面等式的矩阵C称为卷积矩阵。
C·x=h*x （式3－6）
当滤波器的单位采样序列为h(n)，滤波器输入为x(n)，滤波器输出
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信号为：
y(n)=h*x=C·x
可见，卷积矩阵是数字滤波器的另一种描述形式。
MATLAB信号处理工具箱提供了计算卷积矩阵函数convmtx。调用格式为：
C=convmtx(h,n)
式中，h为m×1列向量；n为x列向量维数；c为(m+n-1)×n阶卷积矩阵。
【例3－1】已知滤波器的传递函数
2?3z?1H(z)?
1?0.4z?1?z?2 试求该滤波器的零极点和状态空间表达式和部分分式展开式。
解：用MATLAB编程如下 %MATLAB Program 3-1 %input parameters num=[2 3];den=[1 0.4 1]; f=filt(num,den)
disp(‘Convert to zero-pole-gain’) [z,p,k]=tf2zp(num,den) disp(‘Convert to state space’) [A,B,C,D]=tf2ss(num,den)
％transform partial-fraction expansion [r,p1,k1]=residuez(num,den)
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