21.51g（d）0.50-0.5-1-1.501234d5678 图10 b=2时函数图像
g（d）与直线sd的交点是环绕运动点。在图8中，交点是环绕运动存在的d值；图9中没有交点，表明环绕运动不存在。坡度s影响交点是否存在，小的坡度增加了相交的可能性。所以减小阻尼系数或增大n值，增大了环绕运动稳定存在可能性。当一个或多个粒子离开群体后，会打破磨盘运动的平衡。图10表明对于n的不同值的情况。在这个结果中，少于五个粒子，环绕运动结果不存在。
图11 不同n值对应图像结果
4.2问题二模型建立与求解
问题二中，鱼群通常会聚集成群，以避免被捕食者单独捕捉。当鱼群遭遇黑鳍鲨鱼后，会表现出躲避逃逸行为。一部分鱼发现鲨鱼后，会发生躲避和逃逸，并将信息传递给附近的其他鱼，进而引起其他鱼的逃逸。鱼在逃逸过程中，一方面身体会旋转一定的角度，改变自身速度矢量的方向，与鲨鱼速度矢量的方向的夹角，使改变后的方向能够让自身尽快的逃离捕食者的追击。另一方面，在逃逸过程中，鱼的运动要避免与同伴碰撞，这就限制了与身体角度的变化，以及速度的增加。据此建立一下模型：
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mi?dvi(t)dt?mi?e?vi(t)ei(t)?vi(t)Ti??dxivi(t)?dt??j?i?fij
其中ei(t)代表鱼转动的角度。在逃逸过程中，个体鱼会因与相邻鱼距离过近而产生排斥反应，因此相邻鱼相互吸引的力可以忽略，那么可以得到：
?fi??jxij?g?(xij)??xij?j?dij(?)vij?Bi?h?(vij)??Aienij
vij其中nij是单位方向向量，方向与两个体连线方向相同，指向受力一方。 将鲨鱼简化为一点，假设鱼的感知最大半径为df，鱼警告信号发送最大距离为dw。当鲨鱼进入到鱼感知范围df内时，鱼就立即发生逃逸运动，并同时向周围鱼发出警告信号。周围有些鱼虽然没有感知到鲨鱼的存在，但当它感知到警告信号后，同样立即进行逃逸。由于每条鱼在鱼群中的位置不同，因此鱼在逃逸过程中，速度矢量的变化量各不相同。
距离鲨鱼最近的一些鱼，。根据力矢量可求出鱼的加速度矢量，进而得出鱼的逃逸运动速度矢量，进而求解运动轨迹。综合分析鱼群中各个鱼的运动轨迹，可以得到鱼群躲避捕食者的运动情况。
下面分析鲨鱼进入鱼群的情况，这里定义距离鲨鱼最近的鱼为鱼群的前方，最远的地方为后方：
（1）鲨鱼刚开始被鱼群感知时，在鱼群前方的鱼感知到危险后开始后退，并向周围发出告警信号。在前方的鱼和接受到告警信号的鱼，发现鲨鱼后，产生主动力的作用立即逃逸，而逃逸时，身后的鱼会对其产生排斥力的作用，根据模型将两矢量相加，得到了鱼逃逸时力方向矢量。位于鱼群后方的鱼既没有发现鲨鱼，由于距离较远也没有感知到警告信号，因此运动状态没有发生变化，如图11所示：
? 12
图12 开始进入示意图
（2）鲨鱼进入到鱼群中后，大部分鱼通过感知鲨鱼或接收告警信号，已经得知了鲨鱼的大体方位，并开始整体向远离鲨鱼的方向运动，原来位于前方的鱼大部分撤离到安全区域，绕到了鲨鱼后方的位置，并仍未与鱼群脱离。前方的鱼撤离后，原来处于中间位置的鱼变成了前方的鱼，它们继续绕鲨鱼做逃避运动。此时，处于中间位置鱼群在躲避过程中，鱼与鱼之间的距离逐渐压缩，且鲨鱼头与鱼群距离逐渐缩小，鲨鱼尾与鱼群距离逐渐增大，具体情况如下：
图13 鱼群中运动示意图
（3）鲨鱼离开鱼群后，鱼群会聚拢，再次形成一个同一整体，并整体向远离鲨鱼的方向运动。
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图14 离开后鱼群运动示意图
根据模型中给出的鱼受力方程，结合鱼群运动分析，可以利用matlab编程仿真，得到结果如下图：
图15 鲨鱼与鱼群运动仿真结果图
4.3问题三
任何生物都不是孤立地生活在自然界中，它们总是组成一个小的生活群体，若动物群中有一部分个体是信息丰富者(如掌握食物源位置信息，掌握迁徙路线信息)，这部分个体会将信息传递给其他的同伴,使种群尽快地找到食物,若没有这部分信息丰富者,则种群在觅食、迁徙过程中对路线的选择就具有一定的盲目性，信息丰富者在种群中扮演一个决策者的作用，帮助种群找到一个最佳的路线或决策方案。动物传递信息的方式多种多样，主要有以下几种： 1.视觉通讯
视觉通讯的形式是比较广泛的，雄性驯鹿头上硕大的犄角，草原上雄性狮子颈部漂亮的长鬃毛，这些动物的外表特征都是向雌性同类发出的视觉信号。青蛙
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在草丛中呈现碧绿的体色，而潮一、的保护色往往是通过散布错误的视觉信息来迷惑天敌或猎物的。 2.听觉通讯
鸟类为吸引异性排斥同性，宣告领地占有的歌声以及警告捕食者来到的尖叫声都是听觉通讯。动物世界里有一些动物是依靠超声波来进行通讯与捕食的，如人们熟悉的编幅和海豚，就是利用超声波通讯的。 3.化学通讯
化学通讯就是动物通过释放一些化学物质来影响或控制其他动物的行为。化学通讯有时会影响整个动物群体的活动甚至调节整个种群。这些化学物质称为外激素。
4.触觉通讯
触觉通讯也是一种相当普遍的通讯方式。对于视觉能力有限或者生活在无法利用视觉通讯环境中的动物来说，触觉通讯往往是一种重要的传递信息的方式。某些生活在深海区域中的鱼类，由于光线很弱，视力退化了，但它们往往具有非常发达的鳍刺和触须，上面布满了敏感的神经，在水中游动时，它们可以感知水流的变化，寻觅与捕捉猎物和接收性信号。 5.电通讯
即电鱼、美洲鳗等动物所采用的电通讯方式。电信号通讯不受障碍的阻挡，具有高度的方向性，不过作用距离短，这一点和触觉信号通讯相似。
通讯过程中个体向其他个体发出信号，为其他个体的感觉器官所接受。信号不仅传递情报（信息），还有让对方改变行为的意义。
在个体受力分为以下几个方面：
?（1）临近个体的平均吸引力F1 ?（2）临近个体的平均排斥力F2
?（3）向附近临近个体运动状态向协调的平均协调力F3?（4）信息平均影响力F4
????力F1，F2，F3可根据问题一种的模型，利用矢量运算方法求解。对于力F4，
查找相关资料得知，力的方向与粒子和信息丰富者的连线平行，并指向信息丰富着，力的大小为：
dij?(?)cF4??e??
其中，dij代表个体与信息丰富者的距离；?代表群体系数，与群体大小和物种类别有关；?代表其他个体信息影响。在信息传递过程中，周围的相邻个体
可能较早得知信息，然后将信息传递出去，还可能个体本身通过其他渠道获得信息，
综合这些因素可以得到?，?较小，一般可以忽略它的影响。
?利用矢量相加的的方法，求取个体受力Ft为：
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