平面向量基本概念回归课本复习材料1
一．考试内容：
向量.向量的加法与减法.实数与向量的积.平面向量的坐标表示.线段的定比分点.平面向量的数量积.平面两点间的距离.平移. 二．考试要求：
(1)理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念. (2)掌握向量的加法和减法.
(3)掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件.
(4)了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算.
(5)掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件.
(6)掌握平面两点间的距离公式，以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用.掌握平移公式.
【注意】向量是数学的重要概念之一，它给平面解析几何奠定了必要的基础，同时也为物理学提供了工具，这部分内容与实际结合比较密切.在高考中的考查主要集中在两个方面：①向量的基本概念和基本运算；②向量作为工具的应用.
三．基础知识:
1.实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，那么 (1) 结合律：λ(μa)=(λμ)a;
(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa; (3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb. 2.向量的数量积的运算律： (1) a·b= b·a （交换律）; (2)（?a）·b= ?（a·b）=?a·b= a·（?b）; (3)（a+b）·c= a ·c +b·c.
切记：两向量不能相除(相约)；向量的“乘法”不满足结合律， 3.平面向量基本定理
如果e1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2．不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
4.向量平行的坐标表示
设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b?0， 则a∥b(b?0)?x1y2?x2y1?0.
5.a与b的数量积(或内积)a·b=|a||b|cosθ． 6. a·b的几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积． 7.平面向量的坐标运算
(1)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a+b=(x1?x2,y1?y2). (2)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a-b=(x1?x2,y1?y2). (3)则???设AB?A(x????1,OB?y1)????，B(x2,y2),
OA??(x2?x1,y2?y1). (4)设a=(x,y),??R，则?a=(?x,?y).
(5)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a·b=(x1x2?y1y2).
8.两向量的夹角公式
cos??x1x2?y1y2(a=x2?y2?x2?y2(x1,y1),b=(x2,y2)).
11229.平面两点间的距离公式A(x1,y1)，B(x2,y2).
d????????????2A,B=|AB|?AB?AB?(x2?x1)?(y2?y1)2 10.向量的平行与垂直
设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b?0， 则a||b?b=λa ?x1y2?x2y1?0. a?b(a?0)?a·b=0?x1x2?y1y2?0.
11.线段的定比分公式
设???P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y12的分点,?是实数，且PP?????)是线段PPPP?1?2，则
???x?x1??x2?1??????OP?????OP?????1??OP2? ?y?y1??y21????1?????OP??tOP????1?(1?t)????OP2（t?11??）. 12.三角形的重心坐标公式
△ABC三个顶点的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),则△ABC的重心的坐标是G(x1?x2?x3y1?3,y2?y33). 13.点的平移公式
???x'?x?h????'?????y'?y?k?x?x?h??'????????'?y?y'?kOP?OP?PP 注'???:?图形F上的任意一点P(x，y)在平移后图形F上的对应点为P'(x',y')，且PP'的坐标为(h,k).
14.“按向量平移”的几个结论
（1）点P(x,y)按向量a=(h,k)平移后得 到点P'(x?h,y?k).
(2) 函数y?f(x)的图象C按向量a=(h,k)平移后得到图象C',则C'的函数解析式为
y?f(x?h)?k.
(3) 图象C'按向量a=(h,k)平移后得到图象C,若C的解析式y?f(x),则
C'的函数解析式为y?f(x?h)?k.
(4)曲线C:f(x,y)?0按向量a=(h,k)平移后得到图象C',则C'的方程为f(x?h,y?k)?0.
(5) 向量m=(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到的向量仍然为m=(x,y).
注意：（1）函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？（2）向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！
15. 三角形五“心”向量形式的充要条件
设O为?ABC所在平面上一点，角A,B,C所对边长分别为a,b,c（1）O为?ABC的外心????OA??，则
2????2???2（2）O为?ABC的重心????OA??????OBOB??????OCOC???.
0. （3）O????OA?????为OB??ABC????OB?????的垂心OC????? OC?????OA?.
（4）O为?ABC的内心?aOA?????bOB?????cOC??????0. （5）?aOA???O?为?bOB?????ABC?cOC???的??A的旁心
.
四．基本概念
1、向量有关概念： （1）向量的概念
向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。 （2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的；
（3）单位向量???：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与???AB?共线的单位
向量是?AB?|???AB?)； |（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；
（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记作：a∥b，规定零向量和任何向量平行。
提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；
③平行向量无传递性！（因为有?④三点A、B、C共线????AB?0、 ???)；
AC?共线； （6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是－a。
2、向量的表示方法：
（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB，注意起点在前，终点
2
在后；
??????，则点P分有向线段时??1???0；若点P分有向线段PP12所成的比为
（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a，b，c等；
???（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两P??2P1所成的比为
1。 ?个单位向量?i，j为基底，则平面内的任一向量a可表示为
a?xi??y?j??x,y?，称?x,y?为向量a的坐标，a＝?x,y?叫做向量a的坐标表示。
如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。
3. 实数与向量的积：实数?与向量a的积是一个向量，记作?a和方向规定如下：?1???a???，它的长度
a,?2?当?>0时，?a的方向与a的方向相同，
当?<0时，?a的方向与a的方向相反，当?＝0时，??a??0，注意：?a≠
0。
4、平面向量的数量积：
（1）两个向量的夹角：对于非零向量a，b，作???OA???a,???OB???b，?AOB???0?????称为向量a，b的夹角，当?＝0时，a，b同向，当
?＝?时，a，b反向，当?＝?2时，a，b垂直。
当?为锐角时，a?b＞0，且?a、 ?b不同向，?a??b?0是?分条件；当?为钝角时，a?b＜0，且?a、 ?b不反向，?a??为锐角的必要非充
b?0是?为钝角的必要非充分条件；
（2）b在a上的投影为|b?|cos?，它是一个实数，但不一定大于0。
6、向量的运算：
如图，在平面斜坐标系xOy中，?xOy?60?，平面上任一点???OP??xe??P关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若
????e????1?ye2，其中1,e2分别为与x轴、y轴同方向的单位向量，则P点斜坐标为(x,y)。
7.线段的定比分点：
?的符号与分点P的位置之间的关系：当P点在线段 P1P2上时??>0；当P点在线段 P1P2的延长线上时??<－1；当P点在线段P2P1的延长线上
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