题组教学：“探索—研究—综合运用”模式
——“线面平行问题的证明的解题课”教学设计
【课例解析】
1 教材的地位与作用
本节课是人教版《数学（必修2）》第二章点、直线、平面之间的位置关系，§2.2直线、平面平行的判定与性质单元学完后的一节解题课.
本节内容是以“平行”的判定与性质为主线，依次讨论直线和平面平行、平面和平面平行的判定与性质．两平行平面问题常常转化为直线与平面平行，而直线与平面平行问题又可转化为直线与直线平行，所以本节内容应注意化归与转化思想的应用。
近几年对线面平行关系的考查集中在两个地方：一是以选择题、填空题形式出现的对空间线面平行关系的判断，主要针对判定定理的条件是否充分、平行关系是否可以推广到空间等设置问题；二是以中档解答题形式出现的对空间线面平行关系的推理与论证． 2.学情分析：
平行关系是平面几何向立体几何类比转化较容易的部分，学生对这部分内容学起来比较轻松，对线线平行、线面平行、面面平行的相互转化在本节课之前，也有初步的认识．通过本节课的教学，学生就能把平行关系的转化变为自觉行动．在判定定理与性质定理的应用过程中，学生在书写证明过程时，容易忽视一些他们看来是“次要的条件”．
【方法阐释】
采用心智数学教育方式之题组教学模式．分为“创设情景、导入新课，题组探索、自主探究，题组研究、汇报交流，题组综合、巩固提高，归纳总结、提升拓展”五个教学环节．
解题课的教学中，我们应根据数学知识及学生认知结构的层次性，通过设置三个递进题组，层层设疑，以疑启思，帮助学生成为学习活动的主体。设计真实、具有挑战性的开放的学习环境与问题情景，诱发、驱动并支持学习者的探索、思考与问题解决活动，使学生以积极的情感体验和深层次的认知参与投入到学习中去，培养学生的问题意识、应用意识，激发学生的创新精神．
【目标定位】
1 知识与技能目标：
掌握直线与平面、平面与平面平行的定义、判定定理和性质定理，并能运用这些知识解决相关问题。
2 过程与方法目标：
经历利用判定定理与性质定理转化平行关系，理解线线平行、线面平行、面面平行之间的转化以及转化的辩证关系．体会立体问题平面化的思想． 3 情感、态度与价值观目标：
发展学生的合情推理能力和空间想象力 ，培养学生的质疑思辨、创新的精神.让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣. 4 教学重点、难点
本节课的教学重点为掌握直线与平面、平面与平面平行的定义、判定定理和性质定理，并能运用这些知识进行论证或解题。
本节课的教学难点为利用相关定理转化平行关系，理解线线平行、线面平行、面面平行之间的转化以及转化的辩证关系． 【课堂设计】
一、创设情景、导入新课
师：今天这堂课，老师和同学们一起回顾总结线面平行的有关问题．请同学们先做一组题目． 二、题组探索、自主探究
出示探索性题组
1
1.判断真假：
（1）平行于同一直线的两直线平行（ ）； （2）平行于同一直线的两平面平行（ ）； （3）平行于同一平面的两直线平行（ ）； （4）平行于同一平面的两平面平行（ ）；
（5）一个平面上不共线的三点到另一个平面距离相等，则这两个平面平行 （ ）； （6）与同一条直线成等角的两个平面平行（ ）． 2.以下四个命题： ⑴若a//b,b??，则a//? ⑵若a//?,b??，则a//b
⑶若a//b，a//?，则b//? ⑷若a//?，b//?，则a//b
其中真命题的个数是 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3 3.两条异面直线a、b分别在平面?、?内，且???=c，则直线c （ ） A．一定与a,b都相交 B．至少与a,b中的一条相交 C．至多与a,b中的一条相交 D．一定与a,b都不相交 4.对于不重合的两个平面?与?，给出下列条件 ⑴存在平面?，使得?、?都平行于? ⑵存在直线l??、m??，使得l//m
⑶存在异面直线l、m，使得l//?，l//?,m//?,m//?
其中可以判定?与?平行的条件有 （ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
学生独立思考5分钟，然后小组内讨论，各组代表板书问题的答案．
我的思考：设计探索性题组主要目的是让学生回顾线面平行的判定与性质的有关知识，对平行判定与性质中的易误点进行强化．对线线平行、线面平行、面面平行的相互转化要有清楚的认识，为下一题组的解答做好知识上的准备．
答案:1.(1)√ (2) ×(3) ×(4) √(5) ×(6) × 2.A 3.C 4.B
教师结合下面的图表，引导学生进一步回顾线面平行及面面平行的判定与性质．熟练掌握线线平行、线面平行、面面平行的相互转化，重点强调线面平行、面面平行的性质应用时要作辅助平面．
2
平面与平面平行的判定 直线与平面平行的判定 直线与 直线平行 直线与平面平行的性质 直线与 平面平行 平面与平面平行的判定 平面与 平面平行 平面与平面平行的性质 平面与平面平行的性质 三、题组研究、汇报交流
出示研究性题组： 例题：
1、在正方体ABCD—A1B1C1D1中，P、Q分别是AD1、BD上的点，且AP=BQ，求证：PQ∥平面DCC1D1． 2、已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一个平面内， P，Q分别是对角线AE，BD的中点，如图所示．求证：PQ∥平面BCE．
A1D1B1FPC1EPDQABCABQCD
师生共同讨论例1．
生1：根据例1结论的形式，由线面平行的判定，可考虑通过线线平行证明线面平行． 师:怎样在平面DCC1D1内找一条直线与直线PQ 平行呢？ 生2：连结AQ并延长交DC延长线于M，连结D1M, 在底面ABCD中，由于AB∥DC， 则
BQAQ?，又BQ=AP,BD=AD1
BDAM所以
APAQ，所以PQ//D1M,从而由线线平行可得线面平行 ?AD1AM生3:这样证明不严密．运用线面平行的判定定理证明问题时，应指出PQ在平面外，D1M在平面内．
师：同学们回答得很好，在应用线面平行判定定理时应特别注意条件必须要充分．请同学们想一想，这道题还有其它证明方法吗？
生4：由面面平行的性质定理，还可以通过面面平行证得线面平行．
过P作PN//D1D,连结NQ，则
APAN又AP=BQ,AD1=BD, ?AD1AD所以
BQAN?， BDAD所以NQ//AB,
所以平面PQN//平面DCC1D1
3
由此即可证得PQ∥平面DCC1D1．
生5：证面面平行应先由线线平行得出线面平行，再由线面平行得出面面平行，还要支持两直线相交．
师:同学们回答得非常好！ 解题回顾：（师生共同总结）
1证明线面平行的常用方法是：根据线面平行的判定定理，转化为证明直线平行于平面内的一条直线；根据面面平行的性质定理，转化为证明直线所在的平面与已知平面平行.
2 在证明过程的书写上，应全部写出定理要求的条件，才能推出定理结论的成立．如在用线面平行推面面平行时，必须由a∥b，a??,b??才能推出a ∥α. 三个条件缺一不可． 3 不管采用哪种转化方法，最后都须转化为证明线线平行，体现例题问题平面化的思想． 师：请同学们写出两种证明方法的完整证明过程，体会证明线面平行问题的两种转化方法． （教师巡视进一步纠正学生证明格式上出现的问题．） 师：请同学们思考一下例题2的证明思路．
（学生独立思考后，在全班交流证明思路，重点强化证明线面平行的两种转化方法及证题过程的书写规范．）
我的思考：设置研究性题组的目的在于经过学生独立思考、交流汇报，学生真正理解证明线面平行问题转化为线线平行或面面平行的两个思维方向．理解证明线面平行转化为面面平行，也必须进一步转化为线线平行，转化面面平行只是数学解题中“以退为进”策略的体现．虽然经过面面平行的“迂回”，最终还是要转化为线线平行，这也体现了立体问题平面化和降低问题维度的思想（直线是一维的，平面是二维的，几何体是三维的）．
四、题组综合、巩固提高．
出示综合题组
1、 已知平面α∥平面β，AB，CD是异面直线，A∈α，C∈α，B∈β，D∈β，E、F分别为 AB、CD中点.求证：EF∥α∥β.
2、如图，在正四棱锥S—ABCD中，底面ABCD的边长为a，侧棱长为2a，P、Q分别在BD和SC上，且BP : PD=1 : 2， PQ∥平面SAD，求线段PQ的长．
ACαSQDDGEFCPBβB
A综合题1：让学生分组讨论交流，然后在练习本上写出证明过程．教师巡回指导． 实物投影展示两名学生题目2的解答, 甲学生的解答:连结AD设G是AD的中点， 则EG//BD∴EG//β∵α∥β∴EG//α
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∵GF//AC∴GF//α∴平面EFG//α ∵EF?平面EFG∴EF∥α∥β.
师生点评：上述证法是将证线面平行先转化为证面面平行，但证明过程欠严密，如由EG//BD得出EG//β应指出EG?β，还有通过线面平行推面面平行要有条件EG?GF=G
乙学生的解答：设过ABC的平面交平面β于直线BP在BP上截取BM=AC 则四边形ABMC为平行四边形,连结CM、DM取CM的中点N连结EN、FN 则EN//BM,FN//DM又EN?β,FN?β∴EN//β, FN//β ∵EG?GF=G∴平面EFG//β∵EF?平面EFG∴EF∥α∥β.
师生点评：上述证法在证明的过程中用到了面面平行的性质从而得线线平行（AC//BM）,以上两种证法都进一步体现了线线平行、线面平行、面面平行之间的相互转化思想．
师生共同分析综合题2:
师:我们先来分析一下这个题目，要求PQ的长应把PQ放在一平面图形中，怎么利用题目中的条件呢？
生：可由线面平行得出线线平行，连结BP并延长交DA的延长线于F，连结SE，由PQ∥平面SAD，则PQ//SE
师:我们先来分解出底面图形，由平面几何知识可得PQ=
1SE， 31，又SD=2a,DE=2a, 412222
所以，SE=4a+4a-2×2a×2a×=6a
41所以PQ=6a
3在?SDE中Cos∠SDA=
生：这道题目还可以把线面平行转化为面面平行，过P作PF//BC,连结QF, 则平面PQF//平面SAD
生：因为BC//AD，则PF//AD,又PF?平面SAD， 所以，PF//平面SAD因为PQ//平面SAD，PF?PQ=P 所以，平面PQF//平面SAD．
12SD=a, 331 Cos∠QFP= Cos∠SDA=
41242422262
∴PQ=a+a-a=a∴PQ=
99993∴QF //SD, QF=
6a
师:本题关键是线面平行转化为线线平行或线面平行转化为面面平行．比较来看解法1比解法2
相对简捷．
本题与例1可称为姊妹题．
我的思考：设置综合题组的目的是从更高的层次让学生体会线线平行、线面平行、面面平行的相互转化．在已知条件中出现线线平行、线面平行、面面平行时，也要考虑它们之间的相互转化． 五、归纳总结、提升拓展．
师生共同总结： 1.知识总结
①线面平行的判定定理和性质定理．
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