Born to win
1993年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1) lim?1?2?n????n?1?2??(n?1)??? .
(2) 已知y?f?dy?3x?2??2则,fx?arcsinx,???dx?3x?2?? . x?0(3)
dx??2?x?1?x? .
*
(4) 设4阶方阵A的秩为2,则其伴随矩阵A的秩为 . (5) 设10件产品中有4件不合格品,从中任取两件,已知索取两件产品中有一件是不合格品,
则另一件也是不合格品的概率为 .
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
1??xsin2,x?0,(1) 设f?x???则f?x?在点x?0处 ( ) x?? 0, x?0,(A) 极限不存在 (B) 极限存在但不连续 (C) 连续但不可导 (D) 可导 (2) 设f?x?为连续函数,且F?x???lnx1xf?t?dt,则F??x?等于 ( )
(A)
11?1?1f?lnx??2f?? (B) f?lnx??xx?x?x11?1?f?lnx??2f?? (D) f?lnx??xx?x??1?f?? ?x?(C)
?1?f?? ?x?(3) 若?1,?2,?3,?1,?2都是四维列向量,且四阶行列式?1,?2,?3,?1?m,
?1,?2,?2,?3?n,则四阶行列式?3,?2,?1,??1??2?等于 ( )
(A) m?n (B) ??m?n? (C) n?m (D) m?n
?1?(4) 设??2是非奇异矩阵A的一个特征值,则矩阵?A2?有一特征值等于 ( )
?3?(A)
?14311 (B) (C) (D) 3424 Born to win
(5) 设随机变量X与Y均服从正态分布,XN??,42?,YN??,52?;记
p1?P?X???4?,p2?P?X???5?,则 ( )
(A) 对任何实数?,都有p1?p2 (B) 对任何实数?,都有p1?p2 (C) 只对?的个别值,才有p1?p2 (D) 对任何实数?,都有p1?p2
三、(本题满分5分)
设z?f?x,y?,是由方程z?y?x?xez?y?x?0所确定的二元函数,求dz.
四、(本题满分7分)
???x?a?已知lim???4x2e?2xdx,求常数a之值. ?ax??x?a??x
五、(本题满分7分)
已知某厂生产x件产品的成本为C?25000?200x?12x(元).问 40(1) 若使平均成本最小,应生产多少件产品？
(2) 若产品以每件500元售出,要使利润最大,应生产多少件产品？
六、(本题满分6分)
设p、q是大于1的常数,且
七、(本题满分13分)
运用导数的知识作函数y??x?6?e的图形.
八、(本题满分8分)
已知三阶矩阵A的逆矩阵为
1x1111??1.证明：对于任意x?0,有xp??x. pqpq?111??,
A?1??121????113??试求伴随矩阵A的逆矩阵.
九、(本题满分8分)
设A是m?n矩阵,B是n?m矩阵,E是n阶单位矩阵(m?n).已知BA?E,试判断
*
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A的列向量组是否线性相关？为什么？
十、(本题满分8分)
设随机变量X和Y独立,都在区间?1,3?上服从均匀分布;引进事件
A??X?a?,B??Y?a?.
(1) 已知P?A(2) 求
B??7,求常数a. 91的数学期望. X
十一、(本题满分8分)
假设一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数N?t?服从参数为?t的泊松分布.
(1) 求相继两次故障之间时间间隔T的概率分布；
(2) 求在设备已经无故障工作8小时的情形下,再无故障运行8小时的概率Q.
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1993年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题解析
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】【解析】
2 2lim?1?2?n????1?2??lim?n???n?1?2??n?1?2???n?1??
???n?1???
??n?1???1?2??n?1?2???1?2??n?1?2???n?1?
?limn??1?2?n?n?1?2?n?(n?1) ?limn??11n?1?n??n?n?1?2211?1?1?1??1????1??2?n?2?n?3? 2?limn???2. 2(2)【答案】
【解析】令 g?x??3x?2,则有g?0???1, 3x?2g??x??由复合函数求导法则
12?3x?2?2,则 g??0??3,
dy3??f??g?0??g??0??3f???1??3arcsin1?. dxx?02(3)【答案】?2arctan1?x?C
【解析】方法一：令1?x?t,则x?1?t,dx??2tdt,所以
2dx?2tdtdt???2??2?x?1?x??1?t2?t?1?t2??2arctant?C??2arctan1?x?C.
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方法二：
dxd1?xd1?x??2??2??2?x?1?x?2?x?1?1?x??2??2arctan1?x?C.
(4)【答案】0
【解析】本题考查伴随矩阵的定义及矩阵的秩的定义.
由于r?A??2,说明A中3阶子式全为0,于是A的代数余子式Aij?0,故A?0.
**所以秩 rA?0.
???n,r?A??n,?**若熟悉伴随矩阵A秩的关系式r?A???1, r?A??n?1,
??0,r?A??n?1,*易知 rA?0.
??注：按定义
?A11?A*A??12???A1nA21A22A2nAn1?An2??, ??Ann?伴随矩阵是n阶矩阵,它的元素是行列式A的代数余子式,是n?1阶子式. (5)【答案】0.2
【解析】设事件Ai?“从10件产品中任取两件,有i件不合格品”,i?0,1,2. 记B?A1A2,依题意所求概率为P?A2|B?,即在B发生的条件下A2发生的概率,亦即在
索取两件产品中有一件是不合格品,另一件也是不合格品的概率.
112C4CC428P?A2??2?,P?A1??26?,
C1015C1015又A11,A2互不相容,故有加法公式 P?B??P?AA2??P?A1??P?A2??10. 15易见事件B?A2,因此P?A2B??P?A2?,应用条件概率公式
P?A2B?P?A2?215P?A2|B?????0.2.
P?B?P?B?1015注：“已知所取两件产品中有一件是不合格品”应理解为“所取两件产品中至少有一件是不合格品”.不少考生将其错误理解为“所取两件产品中恰好只有一件是不合格品”,因而得错误答案
2 15.