对外经济贸易大学信息学院应用数学系
第一章 函数与极限自测题C 参考答案
一 填空题 1．
12 2．e 3．
232 4．e?12 5．
341 6．?2 7．e3
二 选择题
1．A 2．D 3．D 三 计算题 1．因为 lim从而
limx?x???x?nx?12nx?1x?1kx?1?limeklnx?1x?1x?1?limkln??1??x?1???x?1x?1?limk?x?1?x?1x?1?k.
x?1?lim(x?1)?(x?1)???(x?1)x?1n2nx?1?1?2???n?nn?n?1?22?2??1?tan2tan???2?n??nn2．解：limtan????lim???lim?1?n??n??2?2n?n????4?1?tan1?tan???n?n??1?tan2n?2n4tan2n2n?11?tan2n4??? ???2?2tan?n?lim?1?n??2?1?tan?n???????2tan?e
3．记x1?2,xn?2?xn?1，先证xn单调增加，即证明xn?1?xn(n?1,2,???)
用归纳法，显然x2?x1，若xn?xn?1成立，则
xn?1?2?xn?2?xn?1?xn，故有xn?xn?1对任意自然数n均成立，即xn单
调增加。
其次证明xn有界：因为xn?1?xn?????x1?2，即有2?xn?xn?0
2?xn?2?0，可推得xn?2，从而xn单调有界. 得xn因此，根据单调有界收敛准则和xn收敛,设limxn?a,因为xn?n??2，
1
对外经济贸易大学信息学院应用数学系
故a?2，由xn?2?xn?1，得limxn?limn??n??2?xn?1，即a?2?a，
解得a?2，即limxn?2.
n??14．limx1?xx?1u?x?1?lim(1?u)u?0?1u?e?1
2?cosx3x25．limx?0?1??2?cosx?1?xln?1?lime????33?x?03x?x??????x2?cosx3??1??limx?0?ln
ln(1??limx?0cosx?13x2)?limx?0cosx?13x2??16
6．原式＝
3x?x?2x?sinx223?1x?1x2x?2x???lim?4x?x?1?x?12??limx???1?sinx??2?x?4?1x2?1?1??x???1
17．原式＝limx?01?cosxx1?cos??x??1?cosx??lim?x?02x?12x2?x12x1?cos??
13?????4?xxx2?esinx?sinx??2e?e8．lim????lim??1， 44????x?0?x?0x?x??1?ex?e?x?1????11????xx2?esinx2?esinx????lim???lim??1，故，原式＝1。 44????x?0?x?0x?x??1?ex?1?ex????9．解：间断点为满足x=0 或x+1=0或x-1=0或即x1?0,f(x)?x2??1,x3?1,x4?121x?1?1x?0,
为间断点。除了x1,x2,x3,x4外，有
x?1?x?1??2x?1?，
limf(x)?0,limf(x)??，
易知 limf(x)?1,x?x1x?x2limf(x)??,x?x3x?x4故x1?0,x3?1为第一类（可去）间断点，
2
对外经济贸易大学信息学院应用数学系
x2??1,x4?12为第二类（无穷）间断点。
1?tan?x??4??10. 解：f?x?在区间?0,2??内的间断点，为
??不存在的点，即
x??4,3?4,5?4,7?4各点。
5?4在x??4处，limf?x????，在x?x???处，limf?x????，
x?5?4?4故x?在x??4,5?4为f?x?的第二类间断点。
7?43?4处，limf?x??1，在x?3?x?4处，limf?x??1，但相应的函数值在
7?x?4该处无定义，故f?x?在这两处为可去间断点。 四 证明题
1．证明： limnn?1
n??1证明：不妨设 n?1?an,(an?0)，
n则n?(1?an)n,n?1?nan?n(n?1)2n(n?1)22nan???an，
2n于是n?1?2an,从而an?，因此0?an?2n,所以limnn??n?1。
2．提示：用定义证明 3．证明：lim2nn??n!2n?0
证明: 由于0<
n!?2222224???????2?1?1???1?? 123n?1nnn由夹逼定理,取极限,得 0?lim22nn??n!?lim4nn???0
n故 limn??n!?0
3
对外经济贸易大学信息学院应用数学系
limannnn???0（a为常数）类似可证。
4．证明：
x1?x2???xnn?a?x1?a?x2?a???xn?an，因limxn?a，
n??故???0,?N1?0,n?N1时xn?a?x1?a?x2?a???xn?an??2.从而
x1?a???xN?a1n?n?N1n??2
注意这里x1?a???xN?a已为定数，因而?N2?0,当n?N2时
1x1?a???xN?a1nx1?x2???xnn??2，于是令N?max{N1,N2},则n?N时，
n?Nn?a??2???2??2??2??。
5．证明：因若limxn?a，则limn??x1?x2???xnnlimn??n???a，因此
1limnn??x1x2?xn?limen??n?lnx1?lnx2???lnxn?1n?e?lnx1?lnx2???lnxn??en??limlnxn?elna?a。
6．证明：limnn??xn?limnn??x1n?x2??x3??xn????????xxx?1??2??n?1?1 ?limnn????x??x??xx1??2??3???n???x1??x2??xn?11??n?1??????n?1n?1?limxnxn?1n???a。
1?lim1nn??7．证明：?limn??n!1(n?1)!?0,?lim1n!n??n?limn??n!1(n?1)!?0。
nn8．证明：?limn!n???n?1??n?1?!n?1?n??lim??n???n?1?n?11???lim?1??n??n?1??n?1?e,
4
对外经济贸易大学信息学院应用数学系
n?limnn!n??nn?limn!n???n?1??n?1?!n?1?e。
9．设函数f(x)在[a,b]上连续,且a?c?d?b,证明:存在一个??(a,b),使得
mf(c)?nf(d)?(m?n)f(?),其中m,n,为正数.
证明: 由于f(x)在[a,b]上连续,,所以f(x)在[a,b]上必有最大值M和最小值N,
因c,d?[a,b],必有
N?f(c)?MN?f(d)?M (1) (2)
因m?0,n?0,由(1)式和 (2)式有
mN?mf(c)?mMnN?nf(d)?nM
于是 (m?n)N?mf(c)?nf(d)?(m?n)M 或 N?mf(c)?nf(d)m?n?M
从而由介值定理,在(a,b)内存在一点?,使得 f(?)?mf(c)?nf(d)m?n
即 mf(c)?nf(d)?(m?n)f(?)。
5