1996等数学下册统考试卷及解答
一、据题目要求解答下列各题（共13）
1、设f(x,y)在D:y?1?x2,y?x2?1上连续，试将??f(x,y)dxdy化为二次
D积分。
解：y?1?x2,y?x2?1,?x??1，
11?x2原式??dx??1x?12f?x,y?dy
?2、在面yoz中求向量p，使它垂直于向量a??12,?3,4?且与向量a有相同的
模。
????3y?4z?0解：由已知可设p??0,y,z?，则?2 2222??y?z?12?3?4?13??解得y??525,z??395，故p???0,???5239?,? 55?二、计算下列各题（本大题分2小题，共13分）
?0,0?a?x???1．将f(x)??H?,0?x?a展成以2?为周期的傅立叶级数。
??H?,?a?x?0?解：f?x?为奇函数
an?02?n?0,1,2,??，
bn????0f?x?sinnxdx??2??a0H?sinnxdx?2H?1?cosna?n?n?0,1,2,??
f?x??2H??1?cosna?sinnx?x?0,?a?
n?11n而S?0??0,S??a???2．计算I?H?2?
???1zdxdydz，其中?是由柱面x2?y2?1及平面z?0,z?1围
成的区域。
解：原式?2??x?y?12dxdy?zdz?0?2
3．设z?ln(x?y)，求dz.
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解：dz?1x?yd?x?y??dx?dyx?y或先求两个偏导数再写出来
三、（本大题7分）求在极坐标下，曲线L:r?1?cos?一周(??????)的长度。
?解：s??ds?L???r???r??????d??2?2????4cos2?2?d?????4cos2?2?d??4?cos0?2d??8
四、（本大题6分）研究级数?(cosx)n的敛散性。
n?1解：当x?n?时?n?0,?1,?2,??,cos??1，所以原级数收敛
当x?n?时?n?0,?1,?2,??,cos??1，一般项不趋向0，所以原级数发散 五、（本大题7分）试确定可导函数y(x)，使方程?ty(t)dt?x2?2?y(x)成立。
0x解：当x?0,?y?0???2，方程两边求导xy?x??2x?y?(x),y??xy??2x
y?e????x?dx?????2x?e????x?dx?dx?c??2?ce?x2x22，（也可用分离变量法求，试试！）
由初值条件c??4,y?2?4e2
六、（本大题6分）设z?uy?arcsinw,u?ex,w?微分dz.。 解：z?yex?arcsinxx?y2xx?y22，求函数对变量的全
22
xx?y222x?y?x?z?x?ye?1?x21x222x?y2?ye?xyx?y22
x?y?z?y?e?xxy?x2?y2??，从而dz??yex?y????dx?22x?y??y2??xyx?e?2?dy 2??x?y?y???4?x02七、（本大题8分）计算I??10dx?4?x1?x2ex?y22dy??21dx?ex?y22dy
解：D:0?x?1,1?x2?y?4?x2;1?x?2,0?y?4?x2 33350616.doc共4页第2页
在极坐标下即为D:0?????2r2,1?r?2
I???eDx?y22dxdy??20d??21erdr??e?44?e?
八、（本大题9分）求微分方程y???y?x3满足y(0)?1,y?(0?1)的特解。 解：对应的特征方程r2?1?0,r1,2??1， 令y*?Ax3?Bx2?Cx?D，则y*???4Ax?2B 代入原方程得6Ax?2B?Ax3?Bx2?Cx?D?x3
比较系数得：A??1,B?0,C??6,D?0，所以y*??x3?6x
y?c1e?c2ex?x?x?6x3
?c1?4,c2??3
由初值条件??c1?c2?1?c1?c2?6?1从而y?4ex?3e?x?x3?6x
九、（本大题10分）计算I?x?y?z222???xdyd?zydzd?xzdxdy，?是球面
222?2z满足z?x?y22那部分的上侧。
解：求出交线知道，补曲面?1:z?1取下侧可封闭之
I???????1???xdydz?ydzdx?zdxdy??1222???2?x?y?z?dv??2??1dxdy?12（再右对称性）
2?11?1?r????2zdv??x?y?12??2dxdy?2?d??rdr00?1zdz???176?
（或直接转化为重积分计算也可以，?:z?1?1?x?y,x?y?1）
2222十、（本大题10分）在曲面z?最短，并求最短距离。 解：设?x,y,z?为所求的点， 则在条件z?2x?y22上找一点，使它到点(1,2,33)的距离
x?y22下m??x?1???y?2???z?33?最小
22222令L??x?1???y?2???z?33????x?y?z
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??Lx???L则?y??Lz??L???2?x?1???xx?y22?0?2y??2???yx?y22?0?y?22,x?2,z?23，得点?2,22,23?
?2z?33???0?x?y?z?0?22??十一、（本大题8分）判定级数?n?15?n!(2n?1)nn的敛散性
5n?1??n?1?!nn解：limun?1unn???lim(2n?1)5?n!(2n?1)n??5??n?1??2n?1?5lim??1 ??n??2n?1?2n?1?2enn?所以正项级数?n?15?n!(2n?1)nn的收敛
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