2013级硕士概率论与数理统计试题解答及评分细则
一、（10分）设X1,,X5为来自总体N(0,1)的样本，求常数C使C(X1?X2)X3?X4?X5222服从
t分布.
解：
X1+X2~N(0,1) （3分） 2X32?X42?X52~?2(3) （6分） X1+X2X1+X22故=3/2~t(3) （9分）
222222(X3+X4+X5)/3X3+X4+X5所以C=
3/2. （10分）
2二、（10分）设总体X~N(40,5)，从中抽取容量为64的样本，X为样本均值，求
P(|X-40|<1).
52) （4分） 解： X~N(40,64P(|x-40|<1)=P(|x-40|1<)=2F(1.6)-1=0.8904 （10分）
5/85/8
三、（15分）设总体X的密度函数为
x?1???e,x?0f(x)=??，
?0,其它?其中?(??0)是未知参数. 设X1,,Xn为该总体的一个容量为n的简单样本.
1.求?的最大似然估计量?； 2.判断?是否为?的无偏估计量. 解：1.似然函数为L(?)?n??ei?11?xi? （4分）
对数似然函数ln[L(?)]??nln??x （6分） ??ii?11ndln[L(?)]n1令?0???2d????xi?1ni?0,?的最大似然估计量??^?Xi?1nin
（10分）
2.由题意，EXi??,i?1,,n
而 E??
^?EXi?1nin??,故?是?的无偏估计量 （15分）
^??c?x?(??1),x?c四、（10分）设总体的密度函数为p(x,?)??,c?0,??0，求?的罗－
其它?0克拉美方差下界.
解：lnp(x,?)?ln???lnc?(??1)lnx （2分）
?lnp(x,?)1??lnc?lnx （4分）
????2lnp(x,?)1?? （6分） 22?????2lnp(x,?)?1所以，I(?)??E???2 （8分） 2?????1?2方差下界 （10分） ?nI(?)n
五、（10分）用某种仪器间接测量硬度，得到的测量值X~N(?,?)，重复测5次所得数 据是： 175， 173， 178， 174， 176
而用另外精确的方法测量硬度为179，试问此仪器间接测量有无系统误差？（取检验水平? ＝0.05）
解： H0:??179?H1:??179
215 x??xi?175.2,5i?1 t?
15s?(xi?x)2?1.9235 （4分） ?4i?1x??0175.?2179n?5??4.41 7 5s1.924t?/2(n?1)?t0.02(54?)2.7764， （8分）
因|t|?t0.025(4)，所以拒绝H0，即此仪器间接测量有系统偏差 （10分）
六、（10分）随机出现的三个数字0，1，2的频数统计结果如下：
频数 0 121 1 146 2 108 在显著水平a=0.05下，能否认为这三个数字出现的机会均等？
解：H0:P(X=i)=21,i=0,1,2 （2分） 32(12-1125)+ c=125(-1461252125)-+(1208125)=5.96 8 （6分）
1252 c0=.0(52)25.，99c2 故可以认为这三个数字出现的机会均等. （10分） 七、（15分）为了测试三种储藏方法对粮食含水率有无显著影响，现取一批粮食分成若干份， 分别用三种不同方法储藏，过一段时间后，测得含水率如下表： 储藏方法 含水率数据 7.3 5.4 7.9 8.3 7.4 9.5 7.6 7.1 10.0 8.4 6.8 9.8 8.3 5.3 8.4 和 39.9 32 45.6 A1 A2 A3 假定各种方法储藏粮食的含水率服从正态分布，且方差相等，已计算得总平方和 ST=26.893， 1.求因素A的效应平方和SA； 2.在a=0.05水平下检验这三种方法对含水率有无显著影响，列出方差分析表. 解： 1.SA=5?3(xi-x)2=18.657 （5分） i=1 2.方差分析表 来源 平方和 18.657 8.236 26.893 自由度 2 12 14 均方和 9.329 0.686 F比 13.59 A 误差 总和 查表得Fa(2,12)=3.89，F>Fa，故储藏方法对含水率影响显著. （15分） 八、（20分）某公司选一容量为10的随机样本，得到各辆汽车每年的安全和保险费y（千元）以及表示营业量的拉运吨公里数x（千吨公里）的统计资料如下： y y x 13 18 14 18 23 10 16 12 18 17 21 14 25 23 14 x 17 9 19 17 11 已计算得 邋(x-ii=110x)=122.4,i=1210(yi-y)=180.1,2 10(xi-x)(yi-y)=132.3 i=11.求直线回归方程； 2.求样本相关系数r，并解释样本相关系数反映的信息； 3.用F检验法检验回归的显著性（a=0.01）. 解：（1）x=14.6,y=18.3 （2分） ?=lxx=132.3=1.0809 （4分） b1lxy122.4?=y-b?x=18.3-1.0809?14.6b012.5189 （6分） y=2.5189+1.0809x （10分） （2）r=lxylxxlyy=132.3=0.8911 122.4′180.1（15分） 样本相关信息反映了变量x,y之间的线性关系程度，越接近1，线性关系越强。 132.32（3）SR===143.0007； lxx122.42lxySe=lyy-SR=180.1-143.000=37.099 （17分） F=SR143.000==30.836 Se/(n-2)37.099/8F0.01(1,8)=11.26，F>F0.01(1,8)，回归效果显著. （20分）