雷达系统导论6
六、方位估值
为了进行目标确认及轨迹关联，提供预警及目标指示信息，还必须估计已检测目标的方位。高频地波雷达通常采用宽波束发射天线，此时为了维持较大的搜索速率，并对已确认的目标进行跟踪，同时还要有足够的相干积累时间以抑制强大的干扰回波，发展了利用多个接收天线阵元瞬时形成多个接收波束覆盖发射区的多通道接收方案，目标方位估值也正基于接收阵列空域信号处理[68]。
信号处理的前期主要集中在时域一维信号处理，如信号的频谱分析和谱估计，现在已发展到二维或多维信号处理。将时域信号处理的理论成果扩展到空域是显而易见的，只要把时域采样变成空域采样，将频率换成空间频率(角度)。随着对空域信号的检测和参数估计的要求越来越高，作为空域处理的阵列信号处理迅速发展，其主要内容可分为：波束形成技术、零点技术及空间谱估计技术。波束形成是使阵列方向图的主瓣指向所需的方向，零点技术是使天线的零点对准干扰方向，而空间谱估计则主要处理带宽内空间信号到达角DOA(Direction of Arrival)的问题，即空域测角。 1．角分辨力和测角精度
方位估值涉及到两个基本概念：角分辨力和测角精度。雷达角分辨力是指在多目标环境中，能将各个目标区分开来的能力。影响雷达实际分辨力的因素有很多，如分辨时的信噪比、被分辨目标回波强弱对比、实际采用的天线波束形状、发射信号波形以及信号处理方法等。一般情况下是集中讨论雷达目标参量的固有分辨力，即忽略噪声影响，采用最佳信号处理条件下雷达分辨的潜在能力。这种潜在分辨力由雷达的信号形式及天线方向图决定。
天线方向图的形状通常会随远离天线的距离R和观察方向而变化。对于下面分析的远区场，即远离天线的距离R?2D2?(其中D为天线的直径，?为雷达发射波长)，天线方向图的形状与距离无关[2]p148。
根据天线理论，其远场方向图和天线的激励之间有[69]p33：
F(?)??????f(x?)e?j2?x?sin?dx?
式中?表示远场点方向偏离天线法线的偏角，x?表示天线上任意一点相对于天线中心点的位置(按波长?归一化)，f(x?)表示天线照射函数。
对雷达应用而言，由于天线长度一般比波长长许多倍，天线方向图主瓣都聚在天线法线很小的角度范围内，即近似有sin???，则
F(?)??????法线由目标1来 由目标2来
?2?10f(x?)e?j2?x??dx?
x?x可见天线方向图F(?)和其照射函数f(x?)之间互成傅里叶变换对。下面推导天线
分析天线角分辨力示意图
空间角分辨力的表达式。
设在x轴上放置一天线，天线中心和坐标原点重合，有两个点目标1和2与天线法线的夹角分
xx别为?1, ?2，在x?处两点目标回波相对于天线中心的时间差分别为?sin?1、?sin?2。于是在x?x?f0f0处两目标回波激励天线的信号分别为：
xxs1(t,x?)?s(t??sin?1)、s2(t,x?)?s(t??sin?2)
f0f0令sin?1??1，sin?2??1??d，则有
1
????x?x???1)exp?j?0?t??1?? ?f0f?0???????????x?x????s2(t,x?)?u?t?(?1??d)?exp?j?0?t?(?1??d?? ?f0f0????????天线经过激励形成的子信号?(t,x?)将等于上述信号乘以天线的照射函数f(x?)，即
s1(t,x?)?u(t?????x?x???1)exp?j?0?t??1?? ?f0f?0???????????x?x?????2(t,x?)?f(x?)u?t?(?1??d)?exp?j?0?t?(?1??d?? ?f0f0????????利用?1,?2的差信号模平方的积分值定义天线区分这两个点目标的能力，即
?1(t,x?)?f(x?)u(t?D(?d)????1(t,x?)??2(t,x?)dx?dt????1(t,x?)dx?dt????2(t,x?)dx?dt
????[?1(t,x?)?2(t,x?)??1?(t,x?)?2(t,x?)]dx?dt
222上式中的第一、第二项都是与?d?sin?2?sin?1无关的量，它表示信号?(t,x?)的能量，与研究天线角分辨问题无关。第三项是一个与天线角分辨力有关的量，用C(?d)表示，称之为角模糊度函数，即
?????x?x?x?2??????C(?d)????1?(t,x?)?2(t,x?)]dx?dt???f(x?)u?t??ut?(???)expj??1??1d?0d?dx?dt ??f0??f0f0????122?f(x)U(?)exp[j(?0??)x??df0]dx?d? ???2?式中U(?)为u(t)的频谱函数
雷达中采用窄带信号，近似有(???0)?0?1，则
122C(?d)?f(x)U(?)exp[j2?x??d]dx?d? ?2???已知天线方向图F(?)的自相关函数R?(?d)为
R?(?d)??F(???d)F?(?)d???????????f(x?)ej2?x??ddx?
2?1故C(?d)???2?2?U(?)d?????R?(?d)，由此可见C(?d)和R?(?d)只差一个与信号能量有关的
???比例常数，从归一化意义上讲，天线的角模糊度函数就是天线方向图的自相关函数。
在实际应用中，如果天线照射等幅同相分布，则方向图将为Sinc函数形状。由于Sinc函数的自相关函数是Sinc函数本身，故分析天线角分辨问题可直接采用天线方向图。若天线照射非等幅分布，则天线方向图和方向图的自相关函数并不等同，但是在大多数实际情况，二者相差很小，仍可以用天线方向图表示雷达的角分辨力。
测角精度是雷达测量的角度值和目标实际方位之间的偏差(误差)大小。它与具体的测角方法及目标的信噪比等因素有关。由以上分析知，角分辨力与测角精度是不同的概念，且都与天线方向图、信噪比有关，因而两者又相互联系。分辨是精确测量的前提，在多目标情形下，只有正确分辨目标才可能获得目标方位的较好估值，否则测角精度无从谈起。
2．波束扫描法
传统测向方法是波束扫描法，天线的主瓣宽度就是两个目标角分辨力的量度值。阵列天线所形成波束的宽度受到阵列尺寸的限制，而实际中阵列又不可能做得很大，因此传统的波束扫描法可提供的对目标的分辨能力非常有限。
通常采用和差波束(或相邻基本波束)比幅的方法进行目标方位角的测量，下面给出有关的理论
2
分析结果。
A．角分辨力
右图所示的线性等间距阵对方位?r?[0, ?]的入射信号矢量x，波束扫描法的输出为：
Y(?)?wx??a(m)ejm?r
Hm?1M平台运动速度vp 阵元M . . . . 阵元2 阵元1
目标 ?1?r海杂波
式中w为阵列加权矢量，其元素w(m)?ame?jm?为对阵元m的加权系数，??2?dcos??，?r?2?dcos?r?，M为阵元数。
若将前式改写为：
Y(?)??[amem?1Mjm?r?jm?阵列示意图
]e
上式是典型的傅立叶变换公式，它相当于利用周期图法对时间序列amejm?r进行谱分析，因而可采用现有的谱分析结论。由于幅度加权系数am相当于时域信号的加窗处理，而在所有窗函数中矩形窗(对应空域均匀幅度加权)的谱宽最窄，这表明为抑制方向图旁瓣所采取的其它空域幅度加权(如切比雪夫加权等)必将引起波束宽度增加，因而导致分辨力下降。为处理方便，以下分析均针对矩形窗而言。
对单个正弦波，谱估计分辨力的定义为谱峰值衰减3dB处的谱宽，即半功率处的谱宽。此定义对波束扫描法适用，但不适用于超分辨方法，因为此时尖峰仅是数学处理的结果，不象波束扫描法一样具有物理含义。一般地，对两个频率为f1, f2的正弦信号，若谱估计器在中心频率fc?(f1?f2)2处的输出恰好等于在f1, f2两频率输出的平均值，即
?1?1P?(f1?f2)???P(f1)?P(f2)? ?2?2则称两正弦信号刚能被分辨，并将频率间隔?f?f1?f2定义为谱估计器对两正弦信号的分辨力。此定义的好处在于能适用于所有谱估计技术。
将空域采样序列amejm?r?amexp?j2?(cos?r)(md?)?与时域采样序列形式snej2?fsn?t相比较得等价的信号频率及采样间隔为：
fs?cos?r?t?d?
显然信号频率fs?[?1, 1]，由采样定理知?t?1(2fmax)即d??2，这说明阵元间距必须小于雷达波长的一半，否则会出现多值性。此外，由fs、?r的非线性关系有?fs?sin?r??r，即当波束指向不同方向时，阵列波束宽度不同。典型地考虑波束正侧向指示即?r?90?情形，此时?fs???r，利用上式我们可以将时域谱分析的结果直接变换为空域形式。 (1)单个正弦信号的理论结果为[70]p232：
WPER?6(?M?t)?0.78(M?t)
上述结果是利用真实相关函数由加三角窗函数BT法(与周期图法等价)所得。实际中由于利用估计的自相关函数，其谱分辨力要比此结果差一些。时域矩形窗对应频域辛克函数，其3dB谱宽为：
WPER?0.886(M?t)
由此得空域阵列的3dB波束宽度为：
?0.5?0.886?(Md) (2)两个正弦信号的计算机模拟结果为[71]：
?f?0.86(M?t)
则空域角分辨力为：
3
???0.86?(Md)
实际上信号的相位对周期图谱估计的分辨力有很大的影响。周期图是数据的加窗变换，这样加窗的正弦信号频域为辛克函数，则两个加窗正弦信号之和的变换将是各自辛克函数旁瓣相长或相消干涉矢量合成的结果，具体取决于两正弦信号的相位差。上式是不同相位差的分辨力曲线所得的平均曲线的均值。
比较前面两式可见，通常采用波束的3dB宽度表示阵列的空域角分辨力是非常近似可行的。
B．测角精度
以下分别给出直接比幅、和差比幅的理论分析结果。 (1)直接比幅
在同一点形成两个指向不同但相互覆盖的相同波束，通过比较两路接收机输出信号的幅度，可确定目标所在的方位。设两个接收波束在半功率点处相交，用高斯函数拟合天线方向图的主瓣，则由接收机噪声引起的测角误差为： a．目标处于两个接收波束的相交点时
????n0.51(SNR)max?0.5
式中(SNR)max为目标位于波束最大值处时的信噪比，?0.5为阵列接收波束半功率宽度 b．目标位于其中一个波束最大值处时
????n1.05(SNR)max?0.5
(2)和差比幅
先形成两个相互交叠的接收波束，然后再形成和差波束，则和信号与差信号的幅度比确定目标偏移角的大小，而其相位差决定目标方位相对于中心轴的偏移方向。设目标位于差波束零点F?(0)(和波束最大处)，则接收机噪声引起的测角误差为：
11???n???0.5
Km2SNF?'(0)式中Km?为误差斜率，SN为和波束信号与差波束噪声功率之比
F?(0)对两高斯波束相交于半功率点时可得Km?1.386，则
0.51???n??0.5
SN(1)a与(2)中两式实际上是一致的，前者(SNR)max为目标位于单个波束最大值处时的信噪比，而后者的SN为目标位于两个波束相交点时和波束信号与差波束噪声功率之比，亦即和波束的信噪比。相对于单个波束，和波束信号同相相加，功率增加4倍，而噪声功率增大2倍，则和波束的信噪比为单一波束在半功率点处信噪比的2倍，与(SNR)max等同。
上述结果表明目标位于两接收波束间不同位置时，比幅法的测角精度是不同的。文[]证明了目标角度的最大似然估计值就是使和波束相干积累功率取最大值时的角度，而上述单脉冲法是功率最大值搜索过程最有效的方法，具体而言，它是将被优化的功率函数在取最大值的角度附近利用泰勒公式展开外推实现的。这表明单脉冲法与最大似然法等效。因此，在仅有一个目标存在或存在多个目标但已良好分辨的情况下，上述方法是最优的，测角精度很高。但在阵列长度有限的条件下，雷达波束较宽，常因不能正确分辨目标而导致测角精度急剧下降。
C．和差比幅、直接比幅测角原理
4
(1)直接比幅
由于分析和差波束比幅时必须以阵列中心为相位参考点，故对由M个阵元组成的线性阵，设方位?的回波阵列信号矢量应为：
v2?vM?
M?12?d式中vm?ej?m, ?m?(m?)?, m?1,2,?,M，电相位??sin?，方位?????2,?2?
2?设两个相邻的基本波束分别指向??2??1??2??2，对应的加权矢量为：
Tv??v1w1??w11w12?w1M?、w2??w21w22?w2M?
M?1M?12?d2?d式中w1m?ej?1m, w2m?ej?2m, ?1m?(m?)?1, ?2m?(m?)?2, ?1?sin?1, ?2?sin?2
22??2?d对电相位为?1??? sin???2的入射信号，其方位满足?1????2，则两基本波束输出为：
TT?y1?wv??eH1m?1MM?1??j?m??(???1)2??K??1?2?cosk(???1), M?2K?1为奇数时? ??Kk?1??1???2?cos??k??????1??, M?2K为偶数时?2?????k?1y2?wv??eH2m?1MM?1??j?m??(???2)2??K??1?2?cosk(???2), M?2K?1为奇数时? ??Kk?1??1???2?cos??k??????2??, M?2K为偶数时?2?????k?12?，则M0?K(???1)??2, ??2?K(???2)?0，故此时两个基本波束的输出均为正实数，且回波信号方
由于?1????2，且两个相邻的基本波束方位差一般小于阵列的波束宽度，即?2??1?位越接近哪个基本波束，其输出值越大，即两个基本波束永远是同相的，仅由于目标偏离中心线的角度不同而存在幅度差异。因此通过比较两个相邻的基本波束输出值的差值即可估值目标方位。
(2)和差比幅
设两个基本波束分别指向??2??1??2??2，对应的加权矢量为：
w1??w11w12?w1M?、w2??w21w22?w2M?
M?1M?12?d2?d式中w1m?ej?1m, w2m?ej?2m, ?1m?(m?)?1, ?2m?(m?)?2, ?1?sin?1, ?2?sin?2
22??故和差波束加权矢量分别为：
Tw??w2?w1??w?1w?2?w?M? Tw??w2?w1??w?1w?2?w?M?TT式中w?m?w2m?w1m?2e对电相位为?1??????wv??2eH?m?1M?j2j?1m??2m2j??2m??1m?cos??，w?m?w2m?w1m?2je2???1m??2m2????1m?sin?2m?
2??2?d?sin???2的入射信号，其方位满足?1????2，则和差波束输出为：
?M?1???1??2??????2??2??1m??2mj?m???2m??1m?j?mMcos???e??2e?2??m?1??M?1??2??1?cos??m???2??2??K????1??2???k(?2??1)?cosk?????, M?2K?1为奇数时?2?4?cos???22??????? ??Kk?1???1??2??1??2??1?1???4cos??k?cosk??????, M?2K为偶数时?????????2222???????????k?1
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