2007-2008-2线性代数期考试卷B参考答案和评分标准
一、单项选择题（每题3分，共30分）
1．D 2．C 3．A 4．C 5．B 6．D 7．B 8．C 9．D 10. A。
二、填空题（每题4分，共20分）
n2222221. 0； 2. 3 ； 3. n+a，?1,1,...,1??R； 4. ?y1，?z1； ?y2?2y3?z2?z3T5. n 。
三、解答题（每题10分，共40分） 1．解：系数矩阵初等变换过程如下：
???1??1?1?E12(?1)??E13(?1)??1????1???1??2?1???111???E23(?1)?1????10??????02??10??11???10?? ， ——-（4分） ?0??当??0而且??1时，齐次线性方程组只有零解。 ——-（7分） 当??0或者??1时，齐次线性方程组有非零解。 ——-（10分） 2．解：
??2?1?1003 ??1?1????2???2?4??4?????2?， ——-（3分）
1??3??2是3重特征值。 ——-（4分）
?000??000??1?11???1?11?，得两个线性无关的特征向量 ?????1?11??000?????x1??1,1,0?，x2??0,1,1?。 ——-（8分） 矩阵A的属于特征值2的特征向量为
TTx?k1x1?k2x2，其中k1,k2不全为零。 ——————————-（10分）
3．解：（1）
?100101??110012??1,?2,?3,?1,?2,?3????? —————（2分） ?1111?10????1在基??1,?2,?3?的坐标是?1,?1,1?T；
?2在基??1,?2,?3?的坐标是?0,1,?2?T；
?3在基??1,?2,?3?的坐标是?1,1,?2?T。
基??1,?2,?3?到基??1,?2,?3?的过渡矩阵为
?101??? ———————————-（7分） ?111???1?2?2???（2）
???1?2?2??3??1??2??3?2??2?2?3????1??2?2?3??2?1?2?2?3?3T
所求的坐标为?2,?2,3?。 ———————————-（10分） 4．解：
?1?1??1??1????11??100??100??011??010?22??????23??012??001????????， ——-（5分） ??1?1?1??1?10???010??01?1?1???001????001??1???????1?10???线性变换x??01?1?y， ——-（7分） ?001???222得标准形y1。 ——-（10分） ?y2?y3四、证明题（第1题5分，第2题5分，共10分） 1.证明：设k??k1?1?...?kn?r?n?r?0， ——-（1分） 得A(k??k1?1?...?kn?r?n?r)?0，于是k?0， ——-（3分） 由k1?1?...?kn?r?n?r?0，得k1?...?kn?r?0，
所以?,?1,?,?n?r线性无关。 ——-（5分） 2.（5分）证明：设P?1AP?B,Q?1CQ?D， ——-（1分）
?P?10??A0??P0??B0?则???????， ——-（3分） ?1??0C0Q0D??????0Q???P?10??P0?而 ?， ????1??0Q??0Q?所以，?
?1?A0??B0?相似于???。 ——-（5分）
?0C??0D?