第二节 换元积分法
能用直接积分法计算的不定积分是十分有限的. 本节介绍的换元积分法,是将复合函数的求导法则反过来用于不定积分,通过适当的变量替换(换元),把某些不定积分化为基本积分公式表中所列的形式,再计算出所求的不定积分.
内容分布图示:
★ 第一换原法（凑微分法）
★ 例1 ★ 例2 ★ 例5 ★ 例6 ★ 例9 ★ 例10 ★ 例13 ★ 例14 ★ 例17 ★ 例18 ★ 例21 ★ 例22
★ 第二换元法 三角代换
★ 例25 ★ 例26
倒代换 ★ 例28 有理代换 ★ 例30
★ 基本积分表（续） ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题4-2 ★ 返回
★ 例3 ★ 例7 ★ 例11 ★ 例15 ★ 例19 ★ 例23 ★ 例27 ★ 例29 ★ 例31
★ 例4 ★ 例8 ★ 例12 ★ 例16 ★ 例20 ★ 例24
内容要点：
一、 第一换元积分法(凑微分法)
?g[?(x)]??(x)dx??g(u)du?F(u)?C?F[?(x)]?C.
二、常用凑微分公式
积分类型1.f(ax?b)dx?2.f(x)x换元公式(a?0)u?ax?bu?x?u?lnxu?exu?axu?sinxu?cosxu?tanxu?cotxu?arctanx?1a?f(ax?b)d(ax?b)1????1dx???f(xx?)d(x)(??0)?第一换元积分法??4..?f(e)?edx??f(e)de15.?f(a)?adx?f(a)dalna?6.?f(sinx)?cosxdx??f(sinx)dsinx7.?f(cosx)?sinxdx???f(cosx)dcosx8.?f(tanx)secxdx??f(tanx)dtanx9.?f(cotx)cscxdx???f(cotx)dcotx110.?f(arctanx)dx??f(arctanx)d(arctanx)1?xf(lnx)d(lnx)xxxxxxx22213.f(lnx)?dx?x11.f(arcsinx)?11?x2dx??f(arcsinx)d(arcsinx)u?arcsinx?
三、第二换元法
?f(x)dx??f[?(t)]??(t)dt?F(t)?C?F[?(x)]?C,
注: 以上几例所使用的均为三角代换, 三角代换的目的是化掉根式, 其一般规律如下: 当被积函数中含有
a) b) c)
a2?x2, 可令 x?asint; x2?a2, 可令 x?atant; x2?a2, 可令 x?asect.
1当有理分式函数中分母的阶较高时, 常采用倒代换x?.
t 四、 积分表续
例题选讲：
凑微分法
例1 (讲义例1) 求不定积分(2x?1)10dx. 例2 求不定分
?1?3?2xdx.
例3 (讲义例2) 计算不定积分xexdx. 例4 计算不定积分x1?xdx. 例5 (讲义例3) 求不定积分例6 求下列不定积分 (1)
?2?2?1dx.
x(1?2lnx)?e3xxdx;(讲义例4) (2)
?tanxxdx.
例7 求下列不定积分: (1)
1?a2?x2dx; (2) 1?x2?8x?25dx.(讲义例5)
例8 求下列不定积分:
(1)
1?1?exdx; (讲义例6) (2)
sin?x21xdx.
例9 (讲义例7) 求不定积分sin2xdx. 例10 求下列不定积分:
(1) (1)
??sin3xdx; (2) ?sin2x?cos5xdx.(讲义例8)
例11 求下列不定积分
24cosxdxcos;(讲义例9) (2) ??xdx.
例12 (讲义例10) 求不定积分
?1dx.
x2?a2例13 (讲义例11) 求不定积分例14 求下列不定积分:
(1) (1)
?1dx.
2x?3?2x?1?cscxdx;(讲义例12) (2) ?secxdx.
6sec?xdx;(讲义例13) (2)
53tanx?secxdx. ?例15 求下列不定积分:
例16 (讲义例14) 求不定积分
?1dx.
1?sinx例17 (讲义例15) 求cos3xcos2xdx. 例18 用换元法求不定积分
?sinx?cosxcosx例19 试用换元法求不定积分 ?dx.
2?co2sx11?xlndx. 例20 试用换元法求不定积分 ?21?x1?x例21 (讲义例22) 求不定积分
?sinx?cosx3dx.
?x2?1dx. x4?1例22 求不定积分 第二换元法
?lnx(?1?x2)dx.
1?x2 例23 (讲义例16) 求不定积分
例24 (讲义例17) 求不定积分例25 计算2e?a2?x2dx (a?0). 1x?a22?dx (a?0).
?x1?x2xdx.
例26 求不定积分x?34?x2dx.
例27 (讲义例18) 求不定积分例28 (讲义例19) 求不定积分 例29 求不定积分
??122x?a1dx.
x(x7?2)dx(a?0).
?x14x?12dx.
例30 (讲义例20) 求不定积分 例31 (讲义例21) 求不定积分
课堂练习
1.求下列不定积分
??x51?x11?e2dx. dx.
x(1)??xdx;(1?x)31(2)?1dx;1?cosx1?x??(3)?1?2?exdx;?x?(4)?x1x?12
dx.2.设f?(sin2x)?cos2x, 求f(x).