2012年(下)小学数学竞赛叁级教练员考试试卷参考答案
（1—10填空题，每题5分；11—20解答题，每题10分，共150分）
1．三个自然数的和是508，积是2012，则这三个数是 。
解：将2012分解质因数：2012＝2×2×503=4×503×1。故所求的三个数是503、4和1。
2．已知：a，b都是整数，并且|a|?|b|?1。则|a?b|? 。 解：a,b都是整数?|a|,|b|都是自然数 ?
??|a|?|b|?1??|a|?0?|a|?1?a?0?a??1?a?b??1?|a?b|?1。 或? ?? 或????|b|?0?b?0?|b|?1?b??1
3．某商品的价格规定如下：每个1元；每5个4元；每9个7元。小赵的钱最多能买50个，小李的钱最多能买500个。小赵与小李各有 元。 解：50＝9×5＋5×1 7×5＋4×1＝39（元）
500＝9×55＋5×1 7×55＋4×1＝389（元） 答：小赵有39元，小李有389元。
4．如果十个互不相同的两位奇数之和等于898，那么这十个数中最小的一个是 。 解：两位奇数指的是11、13、15、?、99。其中，最大的9个数的和是
99?97?95???83?(99?83)?9?819,898?819?79。
2由于和为898的十个两位奇数中较大的九个数的和不可能再大了，较小的那个数不可能更小。所以，这十个数中最小的一个是79。
5．小芳和四位同学一起参加数学竞赛，那四位同学的成绩分别是78、91、82和79，小芳的成绩比五人的平均成绩高6分。则小芳的成绩在这五个人中排第 名。 解：设小芳的成绩是x分，则(78?91?82?79?x)?5?6?x，解得: x?90。所以，小芳的成绩在这五人中排第二名。
第 1 页（共8页）
6．1000千克葡萄含水率为96.5%，一周后含水率降为96%。这些葡萄的重量减少了 千克。
解：葡萄原来含水1000?96.5%?965（千克），含果肉1000?965?（千克）。一
周后，含水率为96%，即含果肉率为1?96%?4%，这时葡萄的重量为35?4%?875（千克）。葡萄的重量减少了1000—875＝125（千克）。
7．有一只时钟，每小时比标准时间慢2分钟，上午6时将时间校准，到该钟指向上午9时整，标准时间约是上午 时 分。
解：设校准后，到钟指向上午9时走了x小时，即60x分。则
(60?2):60?[(9?6)?60]:(60x)
解得x?903333180?3，6?3?9?60??6.2（分）（时），。 292929292929答：标准时间约是上午9时6.2分。
8．在△ABC中，AB?BC?CA?1，现把△ABC在直线l上作顺时针方向滚动(如图所示)，点B从开始到B''处结束所经过的路程的总长度是 。
解：B点所经过的路程如图2所示，这是两条圆心分别为C和A' 、半径为1、圆心角是120°的扇形的弧。所以经过的路程的总长度为
S?2?
1204?2??1??。 3603AE1AF1?，?。AB5AC69．已知：在△ABC中，D是BC中点。E、F分别在AB、AC上，则△DEF的面积与△ABC的面积之比等于 。 解：∵S?DEF?S?ABC?S?AEF?S?BDE?S?CDF ，
∴
S?DEF1114153 。 ?1???????S?ABC56252620 第 2 页（共8页）
10．如图所示，在半径为10㎝的圆中有两条互相垂直的弦，则阴影部分的面积A?A'比其它部分面积
B?B'大 ㎝。
解:作如图2所示的辅助线，则阴影部分的面积
2
A?A'比B?B'大3×4×2＝24(㎝)。
11．已知：S?1111????2013201420222
，求S的整数部分。
1111111??????10???10。从而有 ，∴
2022S2013S201320142022 201.3?S?202.2。因为估算精度不够，所以由这样的不等式不足以得出结论。
11111?5??5???5??5 （2）
20222017S2013201811111???? 404.2403.4S402.6403.6 201.53?S?201.90 所以，S的整数部分是201。
解：（1）∵
12．在下面乘法竖式的□内各填上一个合适的数字，使算式成立。 解：设乘数为yx。根据
可知
10201929?x?，即 2852854?x?6。经试算，x?5时，285×5 ＝14 25 适合。
又根据
可知1?y?3，经试算，y?3时适合。
13．如图表示部分街道。其中，每条路都只能允许车辆单向通行（只允许：从西到东；从南到北；从西南到东北）。按照这样的通行规则，由A到B共有多少种不同的走法？ 解：设A为出发点。从A到C只有一种走法。同理，到达路口D的车也只有1种走法；到达路口E的车可能来自A或C，故有1+1＝2（种）走法；到达路口F的车可能来自E，C或D，故有2+1+1＝4（种）走法。以下类推；??；到达路口B的走法有20（种）。
14．猎狗发现前方10米处有一只兔子在奔跑，立即追了上去，兔子跑9步的路程，猎狗只需跑5步，但猎狗跑2步的时间兔子能跑3步。请问：当猎狗追上兔子时，共跑了多少
第 3 页（共8页）
米？
解：设猎狗一步的长为a米，兔子一步的长为b米。得出5a?9b，a?时间里猎狗和兔子的速度比是 2a:3b?(2?9b。在相同的59b):3b?6:5 5可见，当猎狗每跑6米时，才能比兔子多跑1米。因此，猎狗追上兔子时，共跑了
10?(6?5)?6?60（米）。
答：当猎狗追上兔子时，共跑了60米。
15．两个人做一种游戏：轮流报数，报出的数只能是1、2、3、4、5、6、7、8其中的一个。把两人报出的数连加起来，谁报数后加起来的数是2012，谁就获胜。现在让你先报，采用何种策略才能保证一定会赢？
解：因为2012?9?223??5，所以第一个数报5。以后，对方报数后，你再报数，使每一轮中两人报的数的和为9。这样，你就能在223轮后达到2012。
16．在一个圆内（包括边界）至少放置多少个点，才能保证有两个点之间的距离小于这个圆的半径？
解：先考虑极端情况。如果在圆内接正六边形ABCDEF的顶点和中心各放置一个点（如图），则此时圆被分为六个60°扇形。若再添加一点，该点必属某一扇形区域，它与该扇形中三个点之间的距离必小于或等于圆的半径。因此，至少要有8个点，就能保证其中有两个点之间的距离小于圆的半径。
17．在用120个单位正方体拼成的4×5×6长方体中，共有多少个大小或位置不同的长方体？其中，又有多少个是正方体？
解：在拼成的大长方体中，取一组有公共顶点的三条棱作为空间直角坐标系的坐标轴。则每一个拼成的长方体在这三条坐标轴上都有一组三个投影和它对应，并且每一组投影也对应于一个拼成的长方体。
在长为4的棱上 在长为5的棱上 在长为6的棱上 / 1 2 3 4 5 15 1 2 3 4 5 6 21 长为6的投影 / 长为5的投影 / 长为4的投影 1 长为3的投影 2 长为2的投影 3 长为1的投影 4 合计 10 第 4 页（共8页）
由表并根据乘法原理可知：
（1）大小或位置不同的长方体共有 10×15×21=3150（个）；
（2）其中，正方体有 1×2×3+2×3×4+3×4×5+4×5×6=210（个）。 18．如图，每个小方格的面积是1。能否从这些面积为4的图形中找出四个，并把它们拼成一个面积是16的正方形。请画图说明（在图中标上所用图号，给出一种画法即可）。 解：
19．A、B两地相距26㎞，甲、乙和丙从A地同时出发去B地，甲和乙步行速度分别为每小时5㎞和每小时4㎞，丙驾驶摩托车，速度是每小时20㎞，摩托车后座可带一人。问：三人到达B地，至少需要多长时间？
解：要使三人从A到B地所需时间最少，必须三人不停顿地向目的地走，并且同时出发，同时到达B地。丙先驾驶摩托车带乙到C，乙再步行到终点B，丙空车返回，在D和甲相遇，再带上甲到B，三人同时到达。
设乙和甲步行的路程分别为x和y㎞，则有
?x?626?xxy26?y26?3?2x?2y26?66，解得 ? 。??????2.5（小时）。
y?820452020204?答：三人到达B地，至少需要2.5小时。
20．一种玩具的三种不同型号A、B、C的价格分别是每只61元、92元和123元。小明买了若干个的总价格正好是4000元。问这三种型号的玩具各买了多少个？ 解：（1）设单价为61元、92元和123元的玩具分别买了x、y、z个，则 61x?92y?123z?4000?（*）
由于单价61、92、123分别增加1之后，都是31的倍数，即有 61?31?2?1,92?31?3?1,123?31?4?1。 于是，式（*）变形为
(31?2?1)x?(31?3?1)y?(31?4?1)z?4000,
31?(2x?3y?4z)?4000?(x?y?z), 第 5 页（共8页）