2009年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
数学（理科）参考答案
1.解：M?{x|?1?x?3}，N?{1,3,5,?}，所以 M?N?{1,3} 故，选B
2. 解：因为i??1 ，i??i， i?1，所以满足i?1的最小正整数n的值是4。故，选C .解：由函数y＝f(x)是函数y?a(a?0,且a?1)的反函数，可知f(x)?logax， 又其图像经过点(a,a)，即loga2n234nxa?a，所以a=
21, f(x)?log1x。故答B 2210526。解：在a5?a2n?5?2(n?3)中，令n=5,得a5?2?(2)，令n=3,得a5?a1?2，
5n又an?0,n?1,2,?，所以a5?2，a1?2，从而解得，公比q?2，an?2，
a2n?1?22n?1，log2a2n?1?2n?1，
所以log2a1?log2a3???log2a2n?1?1+3+?+（2n-1）=5.解： 显然 ①和③是假命题，故否定A,B,C, 答 D.
6.解：依题意，可知F1?F2?F3?0，所以F3??(F1?F2)， F322n(1?2n?1)?n2
2?F1?F21?(F1?F2)?F1?F2?2F1?F2cos60o=22?42?2?2?4?=28.
2222所以，力F3的大小为F3?28?27， 答D。
221137。解：若小张和小赵两人都被选中，则不同的选派方案有A2?A3?12种， 若小张和小赵两人只有一人都被选中，则不同的选派方案有C2C2?A3?24种， 故， 总的不同的选派方案共有12+24=36种。 答A。
8. 解：因为速度函数v(t)是路程函数s(t)的导函数，即s?(t)?v(t)，所以s(t)?围成的图形的面积，即可看出，应选A。
9.解：记i?k时求得的S值为Sk,记初始值为S0?0, 则S1??v(t)dt，
0t 根据定积分的定义，比较图中速度曲线v甲和v乙分别与x轴及直线t?t0，t?t1
0?S0?a1a12?S2?a3a1?a2?a31?S1?a2a1?a2,S3?,??, ?,S2???112233(n?1)?Sn?1?ana1?a2???ana?a2???an故,答案为(1) 1 ； Sn??nnn(2)这n件产品的平均长度。
10。解：设a?(x,y)，则a?b?(x?2,y?1)，依题意，得
??x??1?x??3?(x?2)2?(y?1)2?1 ?，解得?或?，所以a?(?1,1)或a?(?3,1)。
y?1y?1????y?1?0 答： (?1,1)或(?3,1)。
x2y211.解：设椭圆G的方程为2?2?1(a?b?0)，焦半径为c,
abc3222 依题意，得2a=12，且?， 解得a=6，c=33, 所以b?a?c?36?27?9
a2x2y2??1。 所以， 椭圆G的方程为
36912。解：依题意，得
6
15??a?b?c??1a???1212??1151???a?0?c?2??0b?，解得答： ； ??124124??11??2a?0?c?2??1c???124???x?1?2t,kk(t为参数)化为普通方程是y?2??(x?1)，该直线的斜率为?， 13．解：直线l1:?22?y?2?kt. 直线l2:??x?s,（s为参数）化为普通方程是y??2x?1，该直线的斜率为?2，
y?1?2s.??k?????2???1， k??1。 ?2??x?1?x?2?(x?1)2?(x?2)2x?1?2x?3?0???1????14。解：
x??2x?2x??2???x?2?033解得x??且x??2。所以原不等式的解集为{x|x??且x??2}
22则由两直线垂直的充要条件，得??15．解法一：连结OA，OB，则∠AOB=2∠ACB=90，
所以△AOB为等腰直角三角形，又AB?4，
所以，圆O的半径R=22，圆O的面积等于?R???(22)?8? 解法二：设圆O的半径为R，在△ABC中，由正弦定理，得所以，圆O的面积等于?R???(22)?8?
2222O
4?2R，解得R=22， osin45－2?与b＝?1，cos??互相垂直， 16．解：（1）∵ 向量a＝?sin?’22∴ a?b?sin??2cos??0，即sin??2cos?①，又 sin??cos??1 ②
① 代入②，整理，得cos??∴cos??21???，由???0,?，可知cos??0， 5?2?525525，代入①得sin??故 cos??， sin??。
5555???)?35cos?，∴5(cos?cos??sin?sin?)?35cos? （2）∵5cos(?5?25?? 将（1）的结果代入其中，得5?5cos??5sin???35cos? ??22 整理，得sin??cos?③， 又sin??cos??1④
③代入④，整理，得cos??221?由0???，可知cos??0，所以，解得cos??。
22217.解：（1）因为，在频率分布直方图中，各个小矩形的面积之和等于1，
2738??3?x??????50?1
365182518259125??1825327381231123119又 所以 x?。 ???????1825365182518259125912550912518250119（2）一年中空气质量为良和的天数为 365?； ?50?119 （天）
18250依题意，得?7
一年中空气质量为轻微污染的天数为 365?2； ?50?100 （天）
3652193?， 3655（3）由（2）可知，在一年之中空气质量为良或轻微污染的天数共有119+100=219（天） 所以，在一年之中的任何一天空气质量为良或轻微污染的概率是p? 设一周中的空气质量为良或轻微污染的天数为ξ，则ξ~B（7，
3） 5?3? P(??k)?C???5?k7k?3??1???5?7?k，（k=0,1,2,?,7）
设“该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染”为事件A，则
?3?P(A)?1?P(??0)?P(??1)=1?C???5?070?3?1?3?1??C??7???5??5?71?3??1?? ?5?63?2?27?21?26128?134476653?2? =1????7????=1?. ?1??75?5?78125781255?5?18.(1)解：∵点D,E1,G1分别是点A,Ｅ,Ｇ在平面DCC1D1内的正投影．
∴四边形FGAE在平面DCC1D1内的正投影为四边形FG1DE1
7611SFG1DE1?22??2?1?(?1?1)?2?2
22 又EE1⊥平面 DCC1D1，且EE1?1
所以，所求锥体的体积为
112VE?FG1DE1=SFG1DE1?EE1??2?1?
333（２）证明：∵EE1⊥平面 DCC1D1，FG1?平面 DCC1D1，
∴EE1⊥FG1
∵在正方形DCC1D1中，E1,F,G1分别是CC1,C1D1,D1D的中点， ∴E1C1?C1F?FD1?D1G1?1，
?E1FC1??G1FD1?450
∴?E1FG1?90 ∴E1F⊥FG1 又EE1∩E1F=E1 ∴FG1?平面FEE1；
（３）设GG1的中点为H，连结EH，E1G1
则EH∥E1G1∥CD，且EH=E1G1=CD=2， ∠AEH就是异面直线E1G1与EA所成角 又CD⊥平面AA1DD1， ∴EH⊥平面AA1DD1
在RT△AEH中，EH =2，AH=2，所以EA=6
OAH23??。 EA36解法2：（1）依题作点E、G在平面DCC1D1内的正投影E1、G1，则E1、G1分别为CC1、DD1的中点，
所以，异面直线E1G1与EA所成角的正弦值为sin?AEH?连结EE1、EG1、ED、DE1，则所求为四棱锥E?DE1FG1的体积，其底面DE1FG1面积为
SDE1FG1?SRt?E1FG1?SRt?DG1E1 ?11?2?2??1?2?2， 228
12SDE1FG1?EE1?. 33（2）以D为坐标原点，DA、DC、DD1所在直线分别作x轴，y轴，z轴，得E1(0,2,1)、G1(0,0,1)，
又EE1?面DE1FG1，EE1?1，∴VE?DE1FG1?又G(2,0,1)，F(0,1,2)，E(1,2,1)，则FG1?(0,?1,?1)，FE?(1,1,?1)，FE1?(0,1,?1)， ∴FG1?FE?0?(?1)?1?0，FG1?FE1?0?(?1)?1?0，即FG1?FE，FG1?FE1， 又FE1?FE?F，∴FG1?平面FEE1.
（3）E1G1?(0,?2,0)，EA?(1,?2,?1)，则cos?E1G1,EA??E1G1?EAE1G1EA?26，设异面直线E1G1与EA所成角为?，则sin??1?23?. 33?y?x2?x1??1?x2?219.解：（1）解曲线C与直线l的联立方程组?,得?,?,
?x?y?2?0?y1?1?y2?4 又xA?xB，所以点A，B的坐标分别为A(?1,1),B(2,4)
?15??22?22∵点P(s,t)是L上的任一点，且点P与点A和点B均不重合．∴t?s ， 即P(s,s)，且?1?s?2
1??s?2?x??2设线段PQ的中点为M(x,y),则点M的轨迹的参数方程为?（s为参数，且?1?s?2）；
5??s2?y?2?2?∵点Q是线段AB的中点∴点Q的坐标为Q?,?
1?55???1消去s 整理，得y?2?x???，且???x??
4?44???41?5?15??所以，线段PQ的中点M的轨迹方程是y?2?x???，???x??；
4?4?44??2251?7?22（２）曲线G:x?2ax?y?4y?a??0可化为?x?a???y?2????，
25?5?7它是以G(a,2)为圆心，以为半径的圆，
5设直线l:x?y?2?0与y轴相交于点E，则E点的坐标为E(0,2)； 自点A做直线l:x?y?2?0的垂线，交直线y=2 于点F，
22220在RT△EAF中，∠AEF= 45，AE?2，所以AF?2，
∵
7?2， ∴当a?0且圆G与直线l相切时，圆心G必定在线5a?2?21?1?7， 5
段FE上，且切点必定在线段AE上，于是，此时的a的值就是所求的最小值。当圆G与直线l:x?y?2?0相切时 解得a??7272，或者a?（舍去） 559
所以，使曲线G与平面区域D有公共点的a的最小值是?72． 5（备注：讨论圆G与直线l切点的位置的必要性。若圆G的半径大于|AF|,则圆G与直线l的切点将落在线段EA的延长线上，此时，圆G与平面区域D没有公共点，这时令圆G过点A，求出的a 的两个值，其中的那个较小的数，才是所求。） 20.解：设二次函数y?g(x)的解析式为g(x)?ax?bx?c(a?0) 则它的导函数为g?(x)?2ax?b(a?0)，
∵ 函数g?(x)?2ax?b(a?0)的图像与直线y?2x平行， ∴ 2a=2，解得a=1,
所以 g(x)?x?bx?c，g?(x)?2x?b ∵y?g(x)在x??1处取得极小值m?1(m?0)
22?g?(?1)?0??2?b?0?b?2，即?，解得?。
?g(?1)?m?1?1?b?c?m?1?c?mg(x)m2所以 g(x)?x?2x?m，f(x)?=x??2（x?0）
xxm??（1）设点点P?x,x??2?（x?0，m?0）为曲线y?f(x)上的任意一点
x??∴?则点P到点Q(0,2)的距离为PQ?2m?m2?22x??x???2x?2?2m
x?x?2m2由基本不等式定理可知2x?2?2m?22m?2m，
x2m2当且仅当x?时，等号“=”成立，此时PQmin=22m?2m
2又已知点P到点Q(0,2)的距离的最小值为2，所以令22m?2m?两边平方整理， 得2m?m?1 当m?0时，2m?m?1，解得m?2
2?1
当m?0时，?2m?m?1，解得m??2?1 所以，m的值为2?1或者?2?1；
（2）函数令h(x)?f(x)?kx=x?令h(x)?0，即(1?k)x?mm?2?kx?(1?k)x??2（x?0） xxm， ?2?0（x?0）
x2整理，得(1?k)x?2x?m?0（x?0），①
函数h(x)?f(x)?kx存在零点，等价于方程①有非零实数根， 由m?0可知，方程①不可能有零根，
m当k=1 时，方程①变为2x?m?0，解得x??0，方程①有唯一实数根，
2m 此时， 函数h(x)?f(x)?kx存在唯一的零点x?；
2当k≠1 时，方程①根的判别式为??4?4m(1?k)，m?0
1 令??4?4m(1?k)=0，解得k?1?，
m10