??????b?2a???4ac?b2?f4a??1③ ??f?1??a+b+c?7④因为a、b是正整数，所以，由式③得
b24a?1?c?1?b2?8a 且b为偶数 由式④得
b?7?a?c?5 故b?4,a?2,c?1
经检验满足条件
?2（3）如图⑶当?1＜?b?＜0?f??b??2a?4ac?b??4a??1⑤22a时，有b＜a，且???f??2??4a?2b+c?7⑥由式⑤得b2?1?c?1?8a?b2＜a24a?a＞8
由式⑥得7=4a?2b+c＞2a+c＞17 矛盾
综上，a?2,b?4,c?1
故二次函数解析式为y?2x2+4x+1 二、 充分性
设
AD?AF?x,BD?BE?y,CE?CF?z，记
p?12?+a+?b?a?y+z,b?zx+c?x,y+p?a?x,p?b?y,p?c?z
由海伦公式知S△ABC?p(p?a)(p?b)(p?c)?xyz(x+y+z) 已知式即xyz(x+y+z)?xy 所以xy?(x+y+z)z 因此a2+b2?(x+z)2+(y+z)2 ?x2+y2+2z(x+y+z)?(x+y)2
?c2由勾股定理逆定理可知：△ABC为直角三角形
必要性
由△ABC为直角三角形知：a2+b2?c2，此即 (x+z)2+(y+z)2?(x+y)2
c+，x+则y z即xy?(x?y?z)z
所以S△ABC?p(p?a)(p?b)(p?c) =xyz(x+y+z)?xy?ADgBD
综上，得证 三、 由已知可得
?x12?1?22四、 ?x2k?x2k?1+2x2k?1+1
?22?x2k+1?x2k+4x2k+4取k?1,2,?,1004，以上各式相加得
2x2009?1+2(x1+2x2+x3+2x4+?x2007+2x2008)+5020?x1+2x2+x3+2x4+ 12?x2007+2x2008?(x2009?5021)2由题意知x2009为奇数，则x1+2x2+x3+2x4+1?x2007+2x2008?(12?5021)??2510
2另一方面，当x1?1,x2??2,x3?0,x4k?x4k+1??1 x4k+2?0,x4k+3??2(k?1,2,x2008??1,x2009??1,501),
时，x1+2x2+x3+2x4+?x2007+2x2008取最小值?2510
因为x1?1，所以，当x2,x3,x2008都取最大值，即 x2k?3k?1,x2k+1?3k+1(k?1,2,x2008?3011,x2009??3013
,1003)
时，x1+2x2+x3+2x4+?x2007+2x2008取最大值
1(30132?5012)?4536574 2