武汉大学2004年攻读硕士学位研究生入学考试试题 科目名称：数学分析
科目代码：369
一、计算下列各题：
1． 2.
lim(sinx??1sxin)12nx??lim(?2?...?n),(a?1)n??aaax?1?xx?1?x?lim2sin()cos122 x?? 1?()n1naa?)?1x?1?x?lim(n2?lim2sincosn??1a?1a(a?1)x??1?22(x?1?x)a?0 3.
4.
x0?limx?0sin(t2)dtx3k?1?sin(x2)?lim(L'Hospital法则) ??arctan(2k?1)?arctan(2k?1) 2x?03xk?11???????3244?arctan2k?12 5.
???...A(?)5！9!13!?1?4?8?12B(?)????...3!7！11!15!e?e??A(x)??3B(x)?sinxA(?)?24?x?x?????e?e3B(?)e??e????A(x)??B(x)??24?3 6.
???1??4?8?12
\设：F(x,y)??x(x?yz)f(z)dz,其中f(z)为可微函数，求Fxy(x,y)yxy F'(x,y)?y\Fxy(x,y)??xyxy(?z)f(z)dz?(x?xy2)xf(xy)
xxf()?(2x?3y2)f(xy)?xy(1?y2)f'(xy)2yy二、设x1?0，xn?1?证明：
3(1?xn)，(n?1,2,3...)，证明：limxn存在，并求出极限
n??3?xn23(1?xn)3?xnxn?1?xn??xn?3?xn3?xnxn?1?3?(3?3)(xn?3)3?xn
(1)当xn?3,不难证明xn?xn?1?3(2)当xn?3,不难证明xn?xn?1?3得到单调有界数列，所以存在极限，不难知极限为3
(a,b)内可导，g'(x)?0，三、设f(x),g(x)在[a,b]上连续，
证明：???(a,b)，使f(a)?f(?)f'(?)?
g(?)?g(b)g'(?)证明：（另外，还可以用上下确界的方法做）
构造辅助函数H(x)?f(x)g(x)?f(x)g(b)?f(a)g(x)H(a)??f(a)g(b)?H(b)根据Rolle中值定理，存在??(a,b),H'(?)?f'(?)g(?)?f(?)g'(?)?f'(?)g(b)?f(a)g'(?)?0整理：f(?)g'(?)?f(a)g'(?)?f'(?)g(b)?f'(?)g(?)?g'(?)(f(?)?f(a))?f'(?)(g(b)?g(?))?g'(x)?0,从而g(x)单调，g(b)?g(?)?0从而原式成立
?xy,(x,y)?(0,0)?22四、讨论f(x,y)??x?y在（0，0）点的连续性和可微性
?0,(x,y)?(0,0)?解：（1）连续性：
?xy,(x,y)?(0,0)?22f(x,y)??x?y?0,(x,y)?(0,0)?xyy0?limf(x,y)?lim?lim?limy?0
22(x,y)?(0,0)(x,y)?(0,0)(x,y)?(0,0)y2(x,y)?(0,0)x?y1?()x从而知连续（2）可微性
?fy3??x(x2?y2)x2?y2?fx3??y(x2?y2)x2?y2
(x,y)?(ky,y)?f1?()3显然不连续?xk2?1同样?f不连续。所以不可微?y
五、计算曲线积分I? ??ydx?zdy?xdz，其中L为圆周：L
?x2?y2?z2?a2(a?0)，L的方向是：从x轴的正方向看过去为逆时针方向。 ??x?y?z?0解：
?x2?y2?z2?a2??x?y?z?0?
I???ydx?zdy?xdz???y(?dz?dy)?zdy?(y?z)dzLL
???(z?y)dy?(2y?z)dz,L'为L在yz平面的投影L'????3dydz??3?a(Sa)??3?a232
六、计算曲面积分I???yzdxdy?zxdydz?xydzdx,其中S为由：xS?y2?R2,z?h（h,R>0）及三个坐标面所围的第一卦限部分的外侧。 解：另外可以用Stokes公式做
I???yzdxdy?zxdydz?xydzdxS????(y?z?x)dxdydz??Vhh?0??20a0a0(rcos??rsin??z)drd?dzh?20?20
a0??dz?(cos??sin?)d??rdr??zdz?d??dr00?ha? 七、证明：
2?h2a4??xn?1n(1?x2)在[0,1]上一致收敛
解：
(1)对???0,取?1-Mn2N?2???1,x?[0,?],?N?N21?,?M1?xM?Nx(1?x)?x(1?x)?xN???1?xn?N(2)取?1-Mn?2???1,x?[???，1],?N?1,?M2N2
1?xM?Nx(1?x)?x(1?x)?(1?x)???1?xn?N1所以，对???0,只要N?N
八、证明积分
?,根据Cauchy收敛准则知一致收敛???0cos(x2)dx在|p|?p0?1上一致收敛 xp解：另外可以用积分判别法的Dirichlet定理做
2??cos(x)??cos(x)dx??0xp?0pdxx2??cosx??cosx??dx?p?1?02xadx02x2p?1a??(0,1)2??cosxsinx????asinxdx?|??dx a01?a?02xa02x2x对任意??0,不难证明N足够大的时候：asinx?N2x1?adx?从而得证M?MNMa2sinxdx?Nsinxdx??4x2?2a