2012年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）
数学试题（理工农医类）
第I卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。 1. 若复数z满足zi?1?i，则z等于（ ）
A．?1?i B．1?i C．?1?i D．1?i
2. 等差数列{an}中，a1?a5?10,a4?7，则数列{an}的公差为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 3. 下列命题中，真命题是（ ）
A．?x0?R,ex0?0 B．?x?R,2?x
x2C．a?b?0的充要条件是
ab??1 D．a?1,b?1是ab?1的充分条件
4. 一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（ ）
A．球 B．三棱锥 C．正方体 D．圆柱 5. 下列不等式一定成立的是（ ）
A．lg(x?214)?lgx(x?0) B．sinx?1x?11721sinx?2(x?k?,k?Z)
C．x2?1?2|x|(x?R) D．
?1(x?R)
6. 如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（ ）
A．
14 B．
15 C．
16 D．
?1,x为有理数7. 设函数D(x)??，则下列结论错误的是（ ）
?0,x为无理数A．D(x)的值域为{0,1} B．D(x)是偶函数 C．D(x)不是周期函数 D．D(x)不是单调函数
x28. 双曲线
4?yb22?1的右焦点与抛物线y?12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（ ）
2A．5 B．42 C．3 D．5
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?x?y?3?0?9. 若直线y?2x上存在点(x,y)满足约束条件?x?2y?3?0，则实数m的最大值为（ ）
?x?m?A．
12 B．1 C．
32 D．2
x1?x22)?12[f(x1)?f(x2)]，则称f(x)在
10. 函数f(x)在[a,b]上有定义，若对任意x1,x2?[a,b]，有f([a,b]上具有性质P。设f(x)在[1,3]上具有性质P，现给出如下命题：
①f(x)在[1,3]上的图像时连续不断的； ②f(x2)在[1,3]上具有性质P；
③若f(x)在x?2处取得最大值1，则f(x)?1，x?[1,3]； ④对任意x1,x2,x3,x4?[1,3]，有f(x1?x2?x3?x42)?14[f(x1)?f(x2)?f(x3)?f(x4)]。
其中真命题的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在答题卡的相应位置。 11. (a?x)4的展开式中x3的系数等于8，则实数a?_________。
12. 阅读右图所示的程序框图，运行相应地程序，输出的s值等于_____________________。
13. 已知?ABC的三边长成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值为_________。
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14. 数列{an}的通项公式an?ncosn?2?1，前n项和为Sn，则S2012? ___________。
?a2?ab,a?b15. 对于实数a,b，定义运算“?”：a?b??，设f(x)?(2x?1)?(x?1)，且关于x的方程为
2?b?ab,a?bf(x)?m(m?R)恰有三个互不相等的实数根x1,x2,x3，则x1x2x3的取值范围是_______________。
三、解答题：本大题共6小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16. （本小题满分13分）
受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆，统计书数据如下：
将频率视为概率，解答下列问题：
（I）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率；
（II）若该厂生产的轿车均能售出，记住生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为
X2，分别求X1，X2的分布列；
（III）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益
的角度考虑，你认为应该产生哪种品牌的轿车？说明理由。 17. （本小题满分13分）
某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数。
（1）sin13?cos17?sin13cos17； （2）sin15?cos15?sin15cos15； （3）sin18?cos12?sin18cos12； （4）sin(?13)?cos48?sin(?18)cos48； （5）sin(?25)?cos55?sin(?25)cos55。 （I）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
（II）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论。
202000202000202000202000202000第3页
18. （本小题满分13分）
如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AA1?AD?1，E为CD中点。 （Ⅰ）求证：B1E?AD1；
（Ⅱ）在棱AA1上是否存在一点P，使得DP//平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由。 （Ⅲ）若二面角A?B1A?A1的大小为300，求AB的长。
19. （本小题满分13分）
如图，椭圆E:xa22?yb22?1(a?b?0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e?12。过F1的直线交椭
圆于A,B两点，且?ABF2的周长为8。 （Ⅰ）求椭圆E的方程。
（Ⅱ）设动直线l:y?kx?m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x?4相较于点Q。试探究：在
坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由。
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20. （本小题满分14分）
已知函数f(x)?ex?ax2?ex,a?R
（Ⅰ）若曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴，求函数f(x)的单调区间；
（Ⅱ）试确定a的取值范围，使得曲线y?f(x)上存在唯一的点P，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P。
21. 本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分。如果多做，则按所做
的前两题计分。作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框图黑，并将所选题号填入括号中。
（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换
设曲线2x?2xy?y220??a22?1在矩阵A???b 1??(a?1)对应的变换作用下得到的曲线为x?y?1。
??（Ⅰ）求实数a,b的值。 （Ⅱ）求A2的逆矩阵。
（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，以坐标原点O为几点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。已知直线l上两点
M,N的极坐标分别为(2,0),(?x?2?2cos?23?C。 ,)，圆的参数方程?(?为参数）
32?y??3?2sin?（Ⅰ）设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程； （Ⅱ）判断直线l与圆C的位置关系。
（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲
已知函数f(x)?m?|x?2|,m?R，且f(x?2)?0的解集为[?1,1]。 （Ⅰ）求m的值； （Ⅱ）若a,b,c?R，且
1a?12b?13c?m，求证：a?2b?3c?9
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