函 数 的 单 调 性
1、 单调性的定义：对于给定区间的函数f（x）
（1） 若对于属于该区间的任意两个自变量x1，x2，
当x1 （2） 若对于属于该区间的任意两个自变量x1，x2， 当x1 2、 函数单调性的一些性质。 （1） 两个增（减）函数的和仍为增（减）函数，一个增（减）函数与一个减（增） 函数的差是增（减）函数； （2） 奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在关于 原点对称的两个区间上有相反的单调性； （3） 若f（x）在区间D上是增（减）函数，则f（x）在D的任一个子区间上也 是增（减）函数 （4） 若y=f（u）和u=g（x）的单调性相同，则复合函数y=f【g（x）】是增函 数； 若y=f（u）和u=g（x）的单调性相反，则复合函数y=f【g（x）】是减函数； 针 对 性 练 习 一、选择题： 1．在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是 （ ） A．y=2x＋1 B．y=3x2＋1 C．y= 2x D．y=2x2＋x＋1 2．函数f(x)=4x2－mx＋5在区间［－2，＋∞］上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函数，则f(1) 等于 （ ） A．－7 B．1 C．17 D．25 3．函数f(x)在区间(－2，3)上是增函数，则y=f(x＋5)的递增区间是 （ ） A．(3，8) B．(－7，－2) C．(－2，3) D．(0，5) - - 4．函数f(x)=ax?1x?2在区间(－2，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是 （ ） A．(0，12) B．( 12，＋∞) C．(－2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 5．已知函数f(x)在区间[a，b]上单调，且f(a)f(b)＜0，则方程f(x)=0在区间[a，b]内（ ） A．至少有一实根 B．至多有一实根 C．没有实根 D．必有唯一的实根 6．已知函数f(x)=8＋2x－x2，如果g(x)=f( 2－x2 )，那么函数g(x) （ ） A．在区间(－1，0)上是减函数 B．在区间(0，1)上是减函数 C．在区间(－2，0)上是增函数 D．在区间(0，2)上是增函数 7．已知函数f(x)是R上的增函数，A(0，－1)、B(3，1)是其图象上的两点，那么不等式 |f(x ＋1)|＜1的解集的补集是 （ ） A．(－1，2) B．(1，4) C．(－∞，－1)∪[4，＋∞） D．(－∞，－1)∪[2，＋∞） 8．已知定义域为R的函数f(x)在区间(－∞，5)上单调递减，对任意实数t，都有f(5＋t)＝f(5－t)，那 么下列式子一定成立的是 （ ） A．f(－1)＜f(9)＜f(13) B．f(13)＜f(9)＜f(－1) C．f(9)＜f(－1)＜f(13) D．f(13)＜f(－1)＜f(9) 9．函数f(x)?|x|和g(x)?x(2?x)的递增区间依次是 （ ） A．(??,0],(??,1] B．(??,0],[1,??) C．[0,??),(??,1] D[0,??),[1,??) 10．已知函数f?x??x2?2?a?1?x?2在区间???,4?上是减函数，则实数a的取值范围是（ ） A．a≤3 B．a≥－3 C．a≤5 D．a≥3 11．已知f(x)在区间(－∞，＋∞)上是增函数，a、b∈R且a＋b≤0，则下列不等式中正确的是（ ） A．f(a)＋f(b)≤－f(a)＋f(b)］ B．f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b) C．f(a)＋f(b)≥－f(a)＋f(b)］ D．f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b) 12．定义在R上的函数y=f(x)在(－∞，2)上是增函数，且y=f(x＋2)图象的对称轴是x=0，则 （ ） A．f(－1)＜f(3) B．f (0)＞f(3) C．f (－1)=f (－3) D．f(2)＜f(3) 二、填空题： 13．函数y=(x－1)- 2的减区间是___ _． 14．函数y=x－21?x＋2的值域为__ ___． 15、设y?f?x?是R上的减函数，则y?f?x?3?的单调递减区间为 . 16、函数f(x) = ax2＋4(a＋1)x－3在[2，＋∞]上递减，则a的取值范围是__ ． 1 三、解答题： 17．f(x)是定义在( 0，＋∞)上的增函数，且f(xy) = f(x)－f(y) （1）求f(1)的值． （2）若f(6)= 1，解不等式 f( x＋3 )－f(1x) ＜2 ． 18．试讨论函数f(x)=1?x2在区间［－1，1］上的单调性． 19．已知f(x)是定义在(－2，2)上的减函数，并且f(m－1)－f(1－2m)＞0，求实数m的取值范围． - - 函 数 的 奇 偶 性 一、 函数奇偶性的定义： （1） 如果对于函数f（x）定义域内的任意一个x，都有f（－x）=－f（x），那么函数 f（x）叫做奇函数。 （2） 如果对于函数f（x）定义域内的任意一个x，都有f（x）=－f（－x），那么函数 f（x）叫做偶函数。 二、奇、偶函数的性质 （1）函数f（x）是奇函数或偶函数的 必要条件是定义域关于原点对称。 （2）奇函数f（x）的图象关于原点对称，偶函数g（x）的图象关于y轴对称。 （3）在公共定义域内，两奇函数之积（商）为偶函数，两个偶函数之积（商）也为偶函 数；一奇一偶函数之积（商）为奇函数（取商时分母不为零）。 （4）若f（x）是具有奇偶性的单调函数，则奇函数在正负对称区间上的单调性相同，偶 函数在正负对称区间上的单调性相反。 （5）若函数f（x）的定义域关于原点对称，则f（x）既是奇函数又是偶函数的充要条件 是f（x）=0 三、精典例题 1.判断下列函数的奇偶性 2（1）f(x)?(x?1)1?x1?x （2）f(x)?lg(1?x)|x?2|?2 （3）f(x)????x2?x(x?0)（4）?f(x)?x2?11?x2 ??x2?x(x?0) （5）f(x)?x?1?1?x （6）y?log2a(x?1?x) 2.求下列函数中的参数 （1）若f(x)?(x?1)(x?a)x是奇函数，则a?___ （2）设函数f(x)?x?ex?ae?x?,x?R,是偶函数,则实数a?____ 2 3.已知f(x)是R上的奇函数，且当x?(0,??)时，f(x)?x(1?3x)，则f(x)的解析式为____ 4.已知f(x)是偶函数，x?R，当x?0时，f(x)为增函数，若x1?0,x2?0，且|x1|?|x2|，则 14.设f(x)为定义在R上的奇函数，当x?0时，f(x)?2x?2x?b (b为常数)，则f(?1)? A.f(?x1)?f(?x2) B.f(?x1)?f(?x2) C.?f(x1)?f(?x2) D. ?f(x1)?f(?x2)正确的是 . 5.设函数y?f(x)对一切实数x都有f(x)?f(2a?x）（a为常数），且方程f(x)?0有k个实根，则所有实根之和为 。 6.用min?a,b?表示a,b两数中的最小值。若函数f(x)?min?x,x?t?的图像关于直线x??12对 称，则t的值为 . 7.直线y?1与曲线y?x2?x?a有四个交点，则a的取值范围是___ _. 8.已知f?x?是奇函数,满足f?x?2??f?x? ,当x??0,1?时,f?x??2x?1 ,则 f(2)?_____,f???log1?224??的值是_________ . 9.已知函数f(x)?x3?|x|?sinx?2|x|?2(x?R)的最大值为M,最小值为m,则 M?m?__________ 10.f(x)和g(x)的定义域都是非零实数，f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且 f(x)?g(x)?1f(x)x2?x?1，求g(x)的取值范围。 11.函数f(x)?a2?x2x?a?a为奇函数的充要条件是____ 12.定义在实数集上的函数f(x)，对一切实数x都有f(1?x)?f(3?x)成立，且方程f(x)?0有101个不同的实根，则所有实根之和为___ _. 13．已知分段函数f(x)是奇函数，当x?[0,??)时的解析式为y?x2，则这个函数在区间(??,0)上 的解析式为 ． - - 15.（1）设f(x)(x?R)是奇函数，f(x?2)?f(x)?f(2)，且f(1)?12，则f(5)=_____ 16.已知f(x)?asinx?b3x?4（a,b为实数）且f(lglog310)?5，则f(lglg3)=____ 17.函数y?1x?1(x??1)可以表示成一个偶函数f(x)与一个奇函数g(x)的和，则f(x)?____ 18.已知y?f(x)是偶函数,当x?0时,f(x)?(x?1)2;若当x????2,?1???2?时,n?f(x)?m恒成 立,则m?n的最小值为 19.设f(x)是(??,??)上的奇函数 f(x?2)??f(x),当0?x?1时f(x)?2x?1, 则当 5?x?6时，f(x)的解析式为___________。 20．设f?x?是定义在R上的偶函数,且在(??,0)上是增函数,则f??2?与f?a2?2a?3?（a?R） 的大小关系是 . 21.已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且在公共定义域?x|x?R,x??1?上有 f(x)?g(x)?1x?1，求f(x)的解析式. 22．已知二次函数f(x)??x2?2(m?1)x?2m?m2的图象关于y轴对称，写出函数的解析表达式，并求出函数f(x)的单调递增区间. 3