1、 设某电视机厂生产一台电视机的成本为c，每台电视机的销售价格为p，销售量为x，假设该厂的生产处于平衡状态，即电视机的生产量等于销售量。根据市场预测，销售量x与销售价格p之间有下面的关系：
??px?Me??(M?0,??0)，其中M为市场最大需求量，?是价格系数。同时，
生产部门根据生产环节的分析，对每台电视机的生产成本c有如下测算：
c?c0?klnx???(k?0,x?1)，其中c0是只生产一台电视机时的成本，k是规模系数。根据上述条件，应如何确定电视机的售价p，才能使该厂获得最大利润？
解：设厂家获利为u，则u?(p?c)x。作拉格朗日函数
L(x,p,c)?(p?c)x??(x?Me??p)??(c?c0?klnx).
??L?(p?c)???k?0?xx???p?0 令 ?Lp?x???Me?Lc??x???0??解之得
p*?c0?klnM?1??k1??k.
因为最优价格必定存在，所以p*是电视机的最优价格。
2、 设有一颗地球同步轨道通讯卫星，距地面的高度为h?36?000km，运行的角速
度与地球的角速度相同。试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比值（地球半径R?6400km）。
z ? x y
解：假设卫星轨道以地心为圆心的圆。取地心O为坐标原点，地心到通讯卫星中心连线为z轴，建立坐标系。通讯卫星覆盖的曲面?是上半球面被半顶角为的圆锥面所截得的部分，
?的方程为z?R2?x2?y2,??x2?y2?R2sin2?，于是通讯卫星的覆盖面积为
R??z???z?A???1??????dxdy????dxdy,
222??x???y?R?x?yDxyDxy22
其中Dxy是曲面?在xOy面上的投影区域，利用极坐标得
A??d??02?Rsin?RR2??20?d??2?R2(1?cos?).
由于cos??
R，代入上式得 R?hA?2?R2(1?Rh)?2?R2. R?hR?h由此得该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比值为
Ah36?106???42.5%. 264?R2(R?h)2(36?6.4)?103、 一起交通事故发生3个小时后，警方测得司机血液中酒精的含量是
56/100(mg/ml),又过两个小时，含量降为40/100(mg/ml),试判断，当事故发
生时，司机是否违反了酒精含量的规定（不超过80/100(mg/ml)）.
解：设C(t)为t时刻血液中酒精的浓度，则浓度递减率的模型应为C??kC,其通解是C(t)?C(0)e?kt/,而C(0)就是所求量.由题设可知C(3)?56,C(5)?40,故有
?3k C(0)e由此解得 e2k?56 和 C(0)e?5k?40,
?56/40?k?0.17?C(0)?56e3k?94. 可见在事故发生时，司机血液
中酒精的浓度已经超出了规定。