初中数学竞赛专题选讲（初三.2）
完全平方数和完全平方式
一、内容提要
一定义
1. 如果一个数恰好是某个有理数的平方，那么这个数叫做完全平方数.
例如0，1，0.36，
425，121都是完全平方数.
在整数集合里，完全平方数，都是整数的平方.
2. 如果一个整式是另一个整式的平方，那么这个整式叫做完全平方式.
如果没有特别说明，完全平方式是在实数范围内研究的.
例如：
在有理数范围 m2, (a+b－2)2, 4x2－12x+9, 144都是完全平方式. 在实数范围 （a+3）2, x2+22x+2, 3也都是完全平方式.
二. 整数集合里，完全平方数的性质和判定
1. 整数的平方的末位数字只能是0，1，4，5，6，9.所以凡是末位数字为2，3，7，8的整数必不是平方数.
2. 若n是完全平方数，且能被质数p整除, 则它也能被p整除.. 若整数m能被q整除，但不能被q2整除, 则m不是完全平方数. 例如：3402能被2整除，但不能被4整除，所以3402不是完全平方数. 又如：444能被3整除，但不能被9整除，所以444不是完全平方数.
三. 完全平方式的性质和判定 在实数范围内
如果 ax2+bx+c (a≠0)是完全平方式，则b2－4ac=0且a>0； 如果 b2－4ac=0且a>0；则ax2+bx+c (a≠0)是完全平方式.
在有理数范围内
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当b－4ac=0且a是有理数的平方时，ax+bx+c是完全平方式.
四. 完全平方式和完全平方数的关系
1. 完全平方式（ax+b）中
当a, b都是有理数时, x取任何有理数，其值都是完全平方数；
当a, b中有一个无理数时，则x只有一些特殊值能使其值为完全平方数.
2. 某些代数式虽不是完全平方式，但当字母取特殊值时，其值可能是完全平方数. 例如： n2+9, 当n=4时，其值是完全平方数.
所以，完全平方式和完全平方数，既有联系又有区别. 五. 完全平方数与一元二次方程的有理数根的关系 1. 在整系数方程ax+bx+c=0(a≠0)中
① 若b2－4ac是完全平方数，则方程有有理数根； ② 若方程有有理数根，则b－4ac是完全平方数. 2. 在整系数方程x2+px+q=0中
① 若p2－4q是整数的平方，则方程有两个整数根； ② 若方程有两个整数根，则p2－4q是整数的平方.
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二、例题
例1. 求证：五个连续整数的平方和不是完全平方数.
证明：设五个连续整数为m－2, m－1, m, m+1, m+2. 其平方和为S.
22222
那么S＝（m－2）＋（m－1）＋m＋（m+1）＋（m+2）
＝5（m2+2）.
∵m的个位数只能是0，1，4，5，6，9 ∴m2+2的个位数只能是2，3，6，7，8，1 ∴m+2不能被5整除.
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而5（m+2）能被5整除， 即S能被5整除，但不能被25整除. ∴五个连续整数的平方和不是完全平方数.
例2 m取什么实数时，（m－1）x+2mx+3m－2 是完全平方式？
解：根据在实数范围内完全平方式的判定，得 当且仅当??△＝0?m?1?02
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时，（m－1）x2+2mx+3m－2 是完全平方式
△=0，即（2m）－4(m－1)(3m－2)=0.
解这个方程， 得 m1=0.5, m2=2. 解不等式 m－1>0 ， 得m>1. ?m?0.5或m?2即?
m?1?它们的公共解是 m=2. 答：当m=2时，（m－1）x2+2mx+3m－2 是完全平方式.
例3. 已知： (x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式.
求证： a=b=c.
证明：把已知代数式整理成关于x的二次三项式，得 原式＝3x2+2(a+b+c)x+ab+ac+bc ∵它是完全平方式， ∴△＝0.
即 4(a+b+c)－12(ab+ac+bc)=0. ∴ 2a2+2b2+2c2－2ab－2bc－2ca=0,
(a－b)2+(b－c)2+(c－a)2=0. 要使等式成立，必须且只需：
?a?b?0??b?c?0 ?c?a?0?2
解这个方程组，得a=b=c.
例4. 已知方程x－5x+k=0有两个整数解，求k的非负整数解.
解：根据整系数简化的一元二次方程有两个整数根时，△是完全平方数.
可设△= m2 (m为整数)，
即（－5）2－4k=m2 (m为整数)，
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解得，k=
25?m42.
∵ k是非负整数，
2??25?m?0∴ ?
2??25?m是4的倍数由25－m≥0， 得 m?5， 即－5≤m≤5； 由25－m2是4的倍数，得 m=±1, ±3, ±5. 以 m的公共解±1, ±3, ±5，分别代入k=求得k= 6, 4, 0.
答：当k=6, 4, 0时，方程x2－5x+k=0有两个整数解
例5. 求证：当k为整数时，方程4x2+8kx+(k2+1)=0没有有理数根. 证明： （用反证法）设方程有有理数根，那么△是整数的平方.
∵△＝（8k）2－16(k2+1)＝16（3k2－1）. 设3k2－1＝m2 (m是整数).
由3k－m＝1，可知k和m是一奇一偶， 下面按奇偶性讨论3k2＝m2＋1能否成立.
当k为偶数，m为奇数时，
左边k2是4的倍数，3k2也是4的倍数； 右边m2除以4余1，m2＋1除以4余2.
∴等式不能成立.； 当k为奇数，m为偶数时， 左边k2除以4余1，3k2除以4余3 右边m2是4的倍数，m2＋1除以4余1
∴等式也不能成立.
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综上所述，不论k, m取何整数，3k＝m＋1都不能成立. ∴3k2－1不是整数的平方， 16（3k2－1）也不是整数的平方.
∴当k为整数时，方程4x+8kx+(k+1)=0没有有理数根
三、练习
1. 如果m是整数，那么m2+1的个位数只能是＿＿＿＿.
2. 如果n是奇数，那么n2－1除以4余数是＿＿，n2+2除以8余数是＿＿＿，3n2除以4的余数是＿＿.
3. 如果k不是3的倍数，那么k2－1 除以3余数是＿＿＿＿＿.
4. 一个整数其中三个数字是1，其余的都是0，问这个数是平方数吗？为什么？ 5. 一串连续正整数的平方1，2，3，………，123456789的和的个位数是＿＿.
（1990年全国初中数学联赛题）
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6. m取什么值时，代数式x－2m(x－4)－15是完全平方式？ 7. m取什么正整数时，方程x2－7x+m=0的两个根都是整数？
8. a, b, c满足什么条件时,代数式(c－b)x2+2(b－a)x+a－b是一个完全平方式？ 9. 判断下列计算的结果，是不是一个完全平方数：
① 四个连续整数的积； ②两个奇数的平方和.
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25?m42.
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10. 一个四位数加上38或减去138都是平方数，试求这个四位数. 11. 已知四位数aabb是平方数，试求a, b.
12. 已知：n是自然数且n>1. 求证：2－1不是完全平方数.
13. 已知：整系数的多项式4x4+ax3+13x2+bx+1 是完全平方数，求整数a和b的值. 14. 已知：a, b是自然数且互质，试求方程x－abx+
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n
12(a+b)=0的自然数解.
(1990年泉州市初二数学双基赛题)
练习题参考答案
1. 1，2，5，6，7，0 2. 0，3，3 3. 0 4. 不是平方数，因为能被3整除而不能被9整除
5. 5。因为平方数的个位数是
（1＋4＋9＋6＋5＋6＋9＋4+1+0）×12345678＋（1＋4＋9＋6＋5＋6＋9＋4+1） 即个位数为5×8＋5
6. 3，5 7. 12，10，6 8. a=b,a=c且c>b 9. 都不是
2??A?B??x?38?A22
10. 1987． ∵? A－B＝176＝2×2×2×2×11 ?……
2A?B????x?138?B11. 7744（882）. ∵aabb?11?a0b是平方数， a+b是11的倍数
∴可从??a?9?a?8?a?7?a?6?a?2??中检验，得出答案. ???b?2b?3b?4b?5b?9?????12 用反证法，设2n－1=A2,A必是奇数， 设A＝2k+1……
?a?12?a??1213 ? ?
b?6b??6??14 ??a?1?b?3 x1=1, x2=2
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