10估算法
物理估算，一般指依据一定的物理概念和规律，运用物理方法和近似计算方法，对所求的物理量的数量或物理量的取值范围，进行大致的推算。物理估算题和常规计算题的解题步骤虽然相似，但也有其自身特点，其文具简洁、条件隐蔽，常使学生无从下手，掌握其解题要领尤为重要。一般而言，求解估算题时，首先应认真审题，从字里行间中发掘出题目的隐含条件，捕捉与题中现象、过程相关的物理概念和规律，揭示题设条件与所求物理量之间的关系，从而确定对所找物理量进行估算的依据。中学物理常用的估算方法有：常数估算法、理想模型估算法、推理估算法、合理的数学近似估算法、设计实验估算法等。下面分别举例说明。
（1）利用物理常数进行估算
估算题中往往告诉的已知量很少，或不提供已知量，解题时要求灵活地运用一些物理常量，有时甚至需要根据经验来拟定某些物理量的数值。应该熟记的物理常数如：标准大气
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压760mmHg，水的密度为1.0×10kg / m，标况下气体的摩尔体积为22.4L，基元电荷的电
-19-10
量为1.60×10c，地球的半径为6370km，原子直径数量级10m，光在真空中的传播速度
823-1
3×10m / s，阿伏伽德罗常数6.02×10mol，等等。应该根据经验能拟定的物理量数值如：普通成人的身高在1.50—1.80m之间，质量在50—80kg之间，普通成年人的步副约0.8m，正常人的脉搏频率约为60Hz，每层楼高3—5m，汽车的速度约为10—20m / s ，台灯功率
.
为40W，电视的功率约为40—100W，电冰箱每天耗电约0.8—1kwh，等等，这些物理常数对解答某些估算题是十分有用的。
[例题1]1789年英国著名物理学家卡文迪许首先估算了地球的平均密度。根据你所学过的知识，能否知道地球密度的大小？
22
解析：设质量为m的小物体在地球表面所受重力为mg.则 mg = GMm / R ,即 M = gR / G .
3
我们将地球看成是半径为R的均匀球体，其体积为V = 4πR/ 3 ，故地球的平均密度应为 ρ = M / V = 3g / 4πGR
此式中的圆周率π，重力加速度g，地球半径R和万有引力G是应熟记的物理常数，将它们的数值代入上式，得
33
ρ = 3g / 4πGR = 5.5×10 kg / m
[例题2]试估算地球大气层的总质量（ 取一位有效数字 ）
解析：本题如能抓住“大气层是由大气重量产生的”这一关键概念进行思考，就能为解题拨开迷雾。同时领悟到题中隐含的两个已知条件：地球的半径R与标准大气压P0 这两个常数。其思路如下：
(1) 由压强 P = G / S 得大气压的重量
2
G = P0 S地球 = P0 4πR
(2) 标准大气压约等于10m高水柱的压强，即
3342
P0 ≈ 10m × 10 kg/m = 10 kg/m
(3) 大气层的总质量的千克数近似等于总重量的千克数，故有
262218
M ≈ 104 kg/m × 4π(6.4×10 ) m ≈ 5×10 kg
[例题3]根据你所学知识估算地球的质量。
解析：方法一、地球表面物体的重力近似可认为是物体受到的万有引力。
2
GMm / R = mg
其中M是地球质量，m是物体质量，R是地球半径
32-11
M = 9.8×( 6370×10 ) / 6.67×10 kg
1
=6.0×10 kg
方法二、地球同步卫星的向心力由万有引力提供
22
GMm / (R+h) = m( 2π/T ) （R+h）
其中，M是地球的质量，m是卫星的质量，R是地球半径，h是卫星距地面的高度（ 此
4
高度的值是确定的 h=3.6×10 km），T是卫星绕地球运动的周期，即地球的自转周期。
23224
M = 4π (R+h) / GT ≈ 6.0 × 10 kg
[例题4]太阳自表面到达地球的时间为500s，试估算太阳的质量为多少？
解析：地球绕太阳的运动可粗略认为是匀速圆周运动，太阳对地球的万有引力提供向心力，由此根据万有引力定律估算太阳质量。
811
由题意得：R = ct = 3×10 × 500 （m） = 1.5×10
222
由万有引力提供向心力：GM太 M地 / R = M地 R 4π / T
7
其中：T = 365×24×3600 ≈ 3.2×10 s
23230
所以：M太 = 4π R / GT ≈ 2×10 kg
[例题5]试估算普通成年人受到的空气浮力是多少？（ 空气密度为 ρ气 =
3
1.29kg/m ）
解析：此题的关键是求出普通人的体积。仰泳的人有时可以静止漂浮在水面上，这表明人受到水的浮力约等于人的重力，此时人的身体几乎全部浸没在水中，同时也表明人的密度与水的密度十分接近，由此可算出人所受的空气浮力。
设人的质量为 m = 60 kg ，则人的体积 V ≈ m / ρ水
3
所以人所受空气的浮力为 ：F =ρ气 V g ≈ m/ρ水 ×ρ气×g ≈ 60/1×10 ×1.29×10(N) ≈ 0.77N.
6
[例题6]已知地球半径为6.4×10 m，又知月球绕地球运动可近似看作允速圆周运动，则可估算出月球到地心的距离为（ ）米 （结果保留1位有效数字）
解析：设地球半径为r，质量为M，地球表面的重力加速度为g，月球绕地球的运动周期为T，轨道半径为R，则有：
22
GMm / R = m( 2π/T ) R (1)
2
又： g = GM / r (2)
3222
由（1）（2）式得 R = √ T r g / 4 π
8
则： R ≈ 4×10 m
（1） 利用理想化模型进行估算
实际的物理问题所涉及的因数往往较多，为了方便求解这些问题，需要突出主要因素，舍弃次要因数，将研究的对象进行科学抽象，使其成为理想化模型后再进行估算。如常温常压下的气体可视为理想气体等。
[例题1]（1996年上海高考题）某消防队员从一平台上跳下，下落2m后双脚触地，接着他用双腿弯曲的方法缓冲，使自己身体重心又下落了0.5m，在触地过程中，地面对他双脚的平均作用力估计为 [ ]
A、自身重力的2倍 B、自身重力的5倍 C、自身重力的8倍 D、自身重力的10倍
解析：将人体落下的运动简化为自由落体模型，而双腿弯曲人体向下缓冲的过程简化
24
2
为匀减速直线运动模型。具体求解过程如下：
消防队员下落h=2m末的速度为： v = √2gh
双腿与地面作用时间为： △t =△h / v =2 △h / v 由动量定理，得
(N – mg)△t = mv ( 取方向向上为正) N = mg + mv / △t
2
= mg + mv / 2△h = mg(1 + h / △h)
=5mg
故正确答案为 B
197-273
[例题2]试估算金原子79Au的大小。已知质子质量1.67×10，金的密度为19.3×10，
23-1
阿伏伽德罗常数NA为6.02×10 mol（结果取一位有效数字）
解析：估算金原子大小应建立如下物理模型，设想金原子是小球体，且紧密挨在一起，由此可得解题思路。
（1） 一摩尔金原子的体积为摩尔质量m与金的密度的比值ρ，即：V=m / ρ （2） 一个金原子的体积为: v = V / NA = m / NAρ
33-10
（3） 一个金原子的半径为: r = √3v / 4π = √3m / 4πNAρ≈1×10
2
[例题3]已知食盐晶体的摩尔质量为58.5g/mol，密度为2.2g/cm，阿伏伽德罗常数
23-1
NA为6.02×10mol，在食盐晶体中两个距离最近的纳离子中心间距数值最接近于（ ）（就下面四个数值相比较）
-8 -8-8-8
A、3.0×10 cm B、3.5×10 cm C、4.0×10 cm D、5.0×10 cm
解析、建立食盐晶体的结构模型，两种离子在空间中三个互相垂直的方向上，都是等距离地交错排列的。
3
设想：1molNaCl是边长为l的正六面体，其体积V=M / ρ，l=√M /ρ 由于1mol的
3
NaCl的分子数为N，故氯离子和钠离子的总数则为2N，每边的离子数为n=√2N，所以相邻
3
离子间距应为l0 = l / n = √M / 2Nρ，按正六面体模型，两粒子间的距离应为√2 l0 = √3
2 √M / 2Nρ，所以应选C。
[例题4]铜的密度为，铜的原子量为64，试估算铜原子的平均距离。（取两位有效数字） 解析：铜的摩尔体积为
V0 = μ / ρ ,
每个铜原子占据的平均体积为 V = V0 / NA = μ/ ρNA 铜原子之间的平均距离为
33
r = √V = √μ/ ρNA
-10
将数据代入上式，得：r ≈ 2.3×10m
[例题5] 人的心脏每跳一次大约输送8×10-5 m3 的血液，正常人血压（可看作心脏压送血液的压强）的平均值约为1。5×104Pa，心跳约每分钟70次，据此估测心脏工作的平均功率约为（ ）W
解析：本题将心脏做功等改为血压主送血做功，从而估算出心脏的平均功率。
设心脏跳动一次使血液流过距离为△L，流过血管的横截面积约为s,则心跳一次做功 W=F△L=Ps△L=pv, 故心脏工作的平均功率为 P=70/60×1。5×104×8×10-5W=1.4W
[例题6] 、(1998年上海高考题)如图所示, 如图所示，古希腊某地理学家通过长期观察，发现6月21日正午时刻，在北半球A城，阳光与铅直方向成7.5o角下射，而在A城的正南
3
方，与A城地面距离为L的B城，阳光恰好沿铅直方向下射，射到地球的太阳可视为平行光。据此他估算出了地球半径。试写出估算地球半径的表达式R＝ 。
解析：设地球是圆球形，由午时光线在B城沿铅直向下（恰好过圆心），在A城光线与铅直方向成7.5度角，可得AB两城距离L所对
应的圆心角
θ=7.5°=л/24，所以R=L/θ=24L/л
[例题7]（1999年上海高考题）天文观测表明，几乎所有远处的恒量（或变量）都在以各自的速度离我们而运动，离我们越远的星体，背离我们运动的速度（称为退行速度）越大；也就是说，
宇宙在膨胀，不同星体的退行速度V和它们离我们的距离r成正比，即V=Hr。式中H为一常量，称为哈勃常数，已由天文观察测量测定。为解释上述现象，有人提出一种理论，认为宇宙是从一个大爆炸的火球开始形成的假设大爆炸后各星体即以不同的速度向外匀速运动，并设想我们就位于其中心，则速度越大的星体现在离我们越远，这一结果与上述天文观察一致。
由上述理论和天文观察结果，可估算宇宙年龄T，其计算式为T=------，根据近期观
-2
测，哈勃常数H=3×10m/s光年，其中光年是光在一年中行进的距离，由此估算宇宙的年龄约为（ ）年。
解析：宇宙的年龄可认为就是宇宙膨胀的时间，设离我们最远的星体离我们距离为
-2
r, 则该星体的“运行”时间（膨胀时间）即为宇宙的年龄T=r/v=r/Hr=1/H而H=3×10m/s,
-28-1010
光年=3×10/3×10(年)=10所以T=10年。
-8
[例题8]有一真空容器，在室温下容器内的气压为10，试估计该容器内气体中的分子
523-1
数。（取1位有效数字，已知1标准大气压P0 =1×10，阿伏伽得罗常数NA =6×10mol）
解析：把容器内的气体看成理想气体模型，可知1mol该气体在标准状况下的体积为V0
3
=22.4L根据气体状态方程P1V1 / T1 = P2V2 / T2，1cm的实际该气体相当于标准状况下的气
-173
体体积为V2 = P1V1 T2 / P2 T1 = 9.1×10 L，因此容器中1cm气体中的分子数为N = V2 /
60
V0 NA = 2×10（个）（说明：上面的计算是取室温27C）
2
[例题9]一个房间的地面面积是15m ，高3m，试估算房间内空气的质量。(已知空气
-2
的平均摩尔质量是2.9×10kg/mol)
解析：根据题意，我们只能依据气态方程或克拉珀龙方程来进行估算，特别注意基本常数——标准状况下，1mol任何气体的体积为22.4L，若将室内空气的状况通过气态方程转化成标准状态，计算出室内空气的摩尔数，问题即可解决。
3
已知空气体积V1 = 45m ，压强P1 = 1atm ，还特别要注意估计室温为T1 = 283K(t = 0
10C)，应用气态方程P0V0 / T0 = P1V1 / T1 ，即可算出标准状况下，这部分气体的体积V0 =
3-33
43.4m ，所以这部分气体的摩尔数μ = V0 / （22.4×10 ）= 1.94×10 mol，质量m = μM = 56kg 。
[例题1]0 、试从α粒子散射实验中估算金核的大小
解析：估算金核的大小主要在于想像 α粒子与金核的“对心碰撞”物理模型：两者之间的库仑斥力使用权正射而来的α粒子在距金核ro处停止。这时α粒子的动能完全转化
2
为在核电场中的电势能，然后返回散射，因此为解题铺路搭桥，由1/2 mv=rQq/r0 得金
2 -14
核的最大半径为 r0=KQq/mv式中Q为金核的电量，代入数据得r0=4.26?10m （2） 利用物理推理进行估算
运用相关物理知识和物理规律对问题进行综合分析、判断，经过合理的推理对结果进
4
行估算。
[例题1]一只普通家用照明白炽灯泡正常发光时，通过它的电流强度与与列哪一组
数据较接近（ ）
A 20A B 2A C 0.2A D 0.02A
解析：本问题涉及到普通家用照明白炽灯泡的功率大致为几十瓦的常识，如取60W，
则由I=P / U 得：I=0.27A(额定电压取消220V),帮选项C正确.
[例题2]两定值电阻接在输出电压稳定的12V直流电源上，V 有人把一个内阻不是远大于R1、R2的电压表接在R1两端时，读 数为8V，如果把电压表接在R2两端时，其读数为（ ） RR2 A 小于4V B 等于 4V C 大于4V，小于8V D 等于或大于8V 12V解析：串联电路中，电压接电阻阻值分配，电压表并入测量V
时，R并〈R1，所以R1分配到的电压（既电压表的读数）小于未测量时，R1两端的电压U1大于8V，故R2两端电压小于4V，在测量R2时，由于Rv的并联作用，读数就更小，故答案应选A。
[例题3]将一标有“6V，3W”的小灯泡L1接到某电池组上（电源内阻不能忽略），小灯泡恰好正常发光，若改将“6V，4W”的灯泡L2接到该电池组上，则该灯的实际功率可能是（不考虑温度对灯丝电阻的影响）（ ）
A 1.5W B 2.5W C 3.5W D 4.5W
解析:当改接L2时,RL2 2 RL2 Pmin=I2Rl2=(P2/u1)Rl2=2.25W故选项BC正确。 （3） 利用合理的数学近似进行估算 近似与平均本身就是对数据的一种在许可范围内的合理的粗略描述，因此，近似与平均可作为一种估算方法。在物理估算中，常用下列一些数学近似公式：当θ很小时：sinθ 2 ≈tanθ≈θ(rad)，cosθ≈1 .当a >> b时，a+b≈a，1/a + 1/b ≈ 1/b . π≈g等等。 [例题1]在水下1m处放置一个小物体，问当人从水面上方往下看时，物体离水面深度为多少？ 解析：水面下的物体A所发出的光线经水面折射，其像点为B，光路如图所示。当人眼从水面正上方往下看时，αβ两角都应很小。因此有： tanα≈sinα, tanβ≈sinβ 根据光的折射定律，有： n = sinα/ sinβ≈ tanα/ tanβ = OO′/OB / OO′/OA = OA / OB所以： OB = OA / n = 1 / 1.33 ≈ 0.76m [例题2]在水内距水面h = 20 cm深处，水平地放置一块平面镜，在平面镜上方有一个小木块浮在水面，若从水面上方往平面镜看这个小木块的像，它应在水面下多深处？（ 已知：n水 = 4 / 3 ） 解析：作光路图如右，从小木块发出的光线，先经平面镜反射，再由水面折射，反向延长线的交点，即为所求的虚像点。图中S′为木块经平面镜反射后的像点，S″是再经 5 过水面折射后的像点，即所求的像点。 由反射定律可知：ss′=2h=40cm,设ss″=L,第二条光线射向水面时的入射角为γ折射角为I，根据光线的可逆性可知：n=sin i / sinγ, 22 22 而 sin I =d / √ L+D sinγ= d / √ (2h)+d 因第二条光线是接近垂直射向平面镜，光线偏转距离 d< 2222 n=√(2h)+d / L+d≈2h/L ∴L=2h/n =40?3/4=30cm [例题3]：如图所示电路中，电源电动势E=6V,内阻 r=0.5Ω, R1=500Ω, R2=5 Ω,R3=300Ω,RA=8Ω,RV=500KΩ试估算电流表和电压表的读数：、 解析：R3与电流表串联，∵R3》RA，∴R3A≈R3=300Ω 同理：R3A与R2，RV并联，∴R23V≈R2=5Ω 回路总电阻 R总 =r+R1+R23V≈R1=500Ω ∴ 回路总电流 I总=E / R总≈E /R1 =0.012A 电压表读数： UV=I总?R23V=0.06V 电流表读数：I-4 A=UV / R3A ≈ UV /R3=2?10 6