用MATLAB验证时域采样定理与频域采样定理
姓名：郭晶 专业：通信一班 学号：0967119130 【设计目的】
1 掌握MATLAB基本操作及应用。
2时域采样理论与频域采样理论是数字信号处理中的重要理论。掌握模拟信号采样前后频谱的变化，以及如何选择采样频率才能使采样后的信号不丢失信息。 3 掌握频率域采样会引起时域周期化的概念，以及频率域采样定理及其对频域采样点数选择的指导作用。 【设计原理】
取样定理论述了在一定条件下，一个连续时间信号完全可以用该信号在等时间间隔的瞬时值（或称样本值）表示。这些样本值包含了该连续时间信号的全部信息，利用这些样本值可以恢复原信号。可以说，取样定理在连续信号与离散信号之间架起了一座桥梁。由于离散时间信号（或数字信号）的处理更为灵活、方便，在许多世纪应用中（如数字通信系统等），首先将连续信号转换为相应的离散信号，并进行加工处理，然后再将处理后的离散信号转换为连续信号。取样定理为连续时间信号与离散时间信号的相互转换提供了理论依据。
取样定理指的是，取样频率要大于信号最高频率的2倍，才能无失真的保留信号的完整信息。在进行模拟/数字信号的转换过程中 当取样频率fs不小于信号中最高频率fmax的2倍 即 fs>=2fmax 时 取样之后的数字信号完整地保留了原始信号中的信息。 在进行模拟/数字信号的转换过程中，当取样频率fs.max大于信号中，最高频率fmax的2倍时，fs.max>=2fmax,则取样之后的数字信号完整地保留了原始信号中的信息，一般实际应用中保证取样频率为信号最高频率的5～10倍；取样定理又称奈奎斯特定理。当对一个信号进行取样时, 取样频率必须大于该信号带宽的两倍以上才能确保从取样值完全重构原来的信号。
时域采样定理的要点是：
(a)对模拟信号xa(t)以间隔T进行时域等间隔理想采样，形成的采样信号的频谱
?(j?)X(j?)以采样角频率?s（?s?2?/T）为周期进行X是原模拟信号频谱a周期延拓。公式为：
1???Xa(j??jn?s) ?(j?)?FT[x?X(t)]Tn???a a
（b）采样频率?s必须大于等于模拟信号最高频率的两倍以上，才能使采样信号的
频谱不产生频谱混叠。
利用计算机计算上式并不方便，下面我们导出另外一个公式，以便用计算机上进行实验。 理想采样信号
?a(t)x和模拟信号
?xa(t)之间的关系为：
?a(t)?xa(t)??(t?nT)xn???
对上式进行傅立叶变换，得到：
?(j?)?[x(t)?(t?nT)]e?j?tdtXa?a???n?????
＝??n???????xa(t)?(t?nT)e?j?tdt
在上式的积分号内只有当t?nT时，才有非零值，因此：
?(j?)?Xa 上式中，在数值上
n????x?a(nT)e?j?nT
xa(nT)＝x(n)，再将???T代入，得到：
?(j?)?Xan????x(n)e??j?n
j?X(e)，即 上式的右边就是序列的傅立叶变换
?(j?)?X(ej?)Xa???T
上式说明理想采样信号的傅立叶变换可用相应的采样序列的傅立叶变换得到，只要将自变量ω用?T代替即可。 频域采样定理的要点是：
a) 对信号x(n)的频谱函数X(ejω)在[0，2π]上等间隔采样N点，得到
XN(k)?X(ej?)??2?kN , k?0,1,2,?,N?1
则N点IDFT[
XN(k)]得到的序列就是原序列x(n)以N为周期进行周期延拓后的
主值区序列，公式为：
xN(n)?IDFTXN[k(N?)]n(iN?[x?i????N
R)]n
(b)由上式可知，频域采样点数N必须大于等于时域离散信号的长度M(即N≥M)，才能使时域不产生混叠，则N点IDFT[即则
xN(n)xN(n)XN(k)]得到的序列
xN(n)就是原序列x(n),
=x(n)。如果N>M，=IDFT[
XN(k)xN(n)比原序列尾部多N-M个零点；如果N xN(n)]发生了时域混叠失真，而且与x(n)不相同。 的长度N也比x(n)的长 度M短，因此。 xN(n) 在数字信号处理的应用中，只要涉及时域或者频域采样，都必须服从这两个采样理论的要点。 对比上面叙述的时域采样原理和频域采样原理，得到一个有用的结论，这两个采样理论具有对偶性：“时域采样频谱周期延拓，频域采样时域信号周期延拓”。因此放在一起进行实验。 【设计思想】 （1）时域采样理论的验证。 给定模拟信号， xa(t)?Ae??tsin(?0t)u(t) 式中A=444.128，?=502π，?0=502πrad/s，它的幅频特性曲线如图10.2.1 图10.2.1 xa(t)的幅频特性曲线 现用DFT(FFT)求该模拟信号的幅频特性，以验证时域采样理论。 安照 xa(t)的幅频特性曲线，选取三种采样频率，即 Tp?50msFs=1kHz，300Hz，200Hz。 观测时间选。为使用DFT，首先用下面公式产生时域离散信号， x3(n)对三种采样频率，采样序列按顺序用x1(n)，x2(n)， x(n)?xa(nT)?Ae??nTsin?(0nT)u(nT)表示。 的长度不同， 长度（点 因为采样频率不同，得到的x1(n)，x2(n)，数）用公式 N?Tp?Fsx3(n)计算。选FFT的变换点数为M=64，序列长度不够64 的尾部加零。 X(k)=FFT[x(n)] ， k=0,1,2,3,-----,M-1 式中k代表的频率为 ?k?2?kM。 x3(n)要求： 编写实验程序，计算x1(n)、x2(n)和观察分析频谱混叠失真。 （2）频域采样理论的验证。 给定信号如下： 的幅度特性，并绘图显示。 ?n?10?n?13?x(n)??27?n14?n?26?0其它? j?编写程序分别对频谱函数X(e)?FT[x(n)]在区间[0,2?]上等间隔采样32 和16点，得到 X32(k)和X16(k)： ?232X32(k)?X(ej?) X16(k)?X(j?e)????k , k?0,1,2,?31 , ?k ?0,1,2, 15 再分别对 X32(k)和X16(k)k16?2进行32点和16点IFFT，得到 x32(n)和x16(n),31,15： x32(n)?IFFTX[ ?n , ?0,1,2,32k(3)2] x16(n)?IFFTX[ ?n , ?0,1,2,16k(1)6] j?X(e)、X32(k)和X16(k)的幅度谱，并绘图显示x(n)、x32(n)和x16(n)的分别画出 波形，进行对比和分析，验证总结频域采样理论。 提示：频域采样用以下方法容易变程序实现。 ① 直接调用MATLAB函数fft计算 [0,2?]的32点频率域采样 X32(k)?FFT[x(n)]32j?X(e)在就得到 ② 抽取 X16(k)X32(k)j?X(e)在[0,2?]的16点频率域采样的偶数点即可得到 ，即 X16(k)?X32(2k) , k?0,1,2,?,15。 ○3 当然也可以按照频域采样理论，先将信号x(n)以16为周期进行周期延拓，取其主值 j?X(e)在[0,2?]的16点频率域采样区（16点），再对其进行16点DFT(FFT),得到的就是 X16(k)。 【工具介绍】 M文件编辑器 图像编辑器