2009年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(1)当x?0时,f?x??x?sinax与g?x??xln?1?bx?等价无穷小,则
21 61(C)a??1,b??
6(A)a?1,b??(2)如图,正方形划
分
为
Dk
(B)a?1,b?
1 6
(D)a??1,b?1 6??x,y?x?1,y?1?被其对角线
四
个
区
1?k?4域
Dk?k?1,2,3,4?,Ik???ycosxdxdy,则max?Ik??
(A)I1 (B)I2 (C)I3 (D)I4
(3)设函数y?f?x?在区间??1,3?上的图形为
f(x) O 0 -1 -2 则函数F?x??1 2 3 x
?f?t?dt的图形为
0x
f(x) 1 -2 0 1 2 3 x
(A)
-1
f(x) 1 -2 0 1 2 3 x
-1
f(x) 1 -1 0 1 2 3 x
(C)
f(x) 1 -2 0 1 2 3 x
(D)
-1
(4)设有两个数列?an?,?bn?,若nlim??an?0,则
(B)
????(A)当
?bn?1?n收敛时,
?abn?1?nn收敛. (B)当
?bn?1?n发散时,
?abn?1?nn发散.
(C)当
?bn?1n收敛时,
?abn?122nn收敛. (D)当
?bn?1n发散时,
?abn?122nn发散.
(5)设α1,α2,α3是3维向量空间R的一组基,则由基α1,311α2,α3到基23α1?α2,α?α的过渡矩阵为 2α,α3?3?101?
??(A)?220?
?033???
?120?
??
(B)?023? ?103???
?1?2?1(C)???2?1???214141?41???6?1? 6??1??6?
?1?2?1(D)??4?1????6?1214161?2??1?? 4??1??6?(6)设A,B均为2阶矩阵,A*,B*分别为A,B的伴随矩阵,若A?2,B?3,则分块矩
阵??OA??的伴随矩阵为
?BO??O(A)?*?2A?O(C)?*?2B3B*?? O?3A*?? O?
?O(B)?*?3A?O(D)?*?3B2B*?? O?2A*?? O?
(7)设随机变量X的分布函数为F?x??0.3??x??0.7??态分布函数,则EX?
(A)0 (C)0.7
?x?1??,其中??x?为标准正2??
(B)0.3 (D)1
(8)设随机变量X与Y相互独立,且X服从标准正态分布N?0,1?,Y的概率分布为
P?Y?0??P?Y?1??点个数为
(A)0
1,记FZ?z?为随机变量Z?XY的分布函数,则函数FZ?z?的间断2
(B)1
(C)2 (D)3
二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.)
?2z(9)设函数f?u,v?具有二阶连续偏导数,z?f?x,xy?,则? . ?x?y(10)若二阶常系数线性齐次微分方程y???ay??by?0的通解为y??C1?C2x?e,则非
x齐次方程y???ay??by?x满足条件y?0??2,y??0??0的解为y? .
(11)已知曲线L:y?x(12)设??2?0?x?2?,则?xds? . L??x,y,z?x2?y2?z2?1,则???z2dxdydz? .
??(13)若3维列向量α,β满足αTβ?2,其中αT为α的转置,则矩阵βαT的非零特征值为 .
(14)设X1,X2,?,Xm为来自二项分布总体B?n,p?的简单随机样本,X和S2分别为样
2本均值和样本方差.若X?kS为np2的无偏估计量,则k? . 三、解答题(15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
(15)(本题满分9分)
求二元函数f(x,y)?x22?y2?ylny的极值. (16)(本题满分9分) 设an为曲线y?x????n与y?xn?1?n?1,2,.....?所围成区域的面积,记
S1??an,S2??a2n?1,求S1与S2的值.
n?1n?1(17)(本题满分11分)
x2y2??1绕x轴旋转而成,圆锥面S2是过点?4,0?且与椭圆椭球面S1是椭圆43x2y2??1相切的直线绕x轴旋转而成. 43(1)求S1及S2的方程. (2)求S1与S2之间的立体体积.
(18)(本题满分11分)
(1)证明拉格朗日中值定理:若函数f?x?在?a,b?上连续,在(a,b)可导,则存在???a,b?,使得f?b??f?a??f?????b?a?.
f??x??A,则(2)证明:若函数f?x?在x?0处连续,在?0,?????0?内可导,且lim?x?0f???0?存在,且f???0??A.
(19)(本题满分10分) 计算曲面积分I?????xdydz?ydzdx?zdxdy?x2?y2?z322?,其中
?是曲面2x2?2y2?z2?4的
外侧.
(20)(本题满分11分)
?1?1?1???1?????1?,ξ1??1? 设A???11??2??0?4?2?????(1)求满足Aξ2?ξ1的ξ2.A2ξ3?ξ1的所有向量ξ2,ξ3. (2)对(1)中的任意向量ξ2,ξ3证明ξ1,ξ2,ξ3无关. (21)(本题满分11分)
设二次型f?x1,x2,x3??ax1?ax2??a?1?x3?2x1x3?2x2x3.
222(1)求二次型f的矩阵的所有特征值;
22(2)若二次型f的规范形为y1,求a的值. ?y2(22)(本题满分11分)
袋中有1个红色球,2个黑色球与3个白球,现有回放地从袋中取两次,每次取一球,以
X,Y,Z分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数.
(1)求pX?1Z?0.
(2)求二维随机变量?X,Y?概率分布. (23)(本题满分11 分)
????2xe??x,x?0设总体X的概率密度为f(x)??,其中参数?(??0)未
?0,其他知,X1,X2,…Xn是来自总体X的简单随机样本.