（2）以距a点5m处的b点为坐标原点，写出波动表达式。
xx?x解:(1)y?3cos4?(t?)?3cos4?(t?)?3cos(4?t?)(SI制)
b p u a 20205O (2)y?3cos[4?(t?5?x)]?3cos(4?t??x??)(SI制)
x 205b p u a 4．某质点作简谐振动，周期为2 s，振幅为0.06 m，t = 0 时刻，质点的位移为
0.03 m,且向正方向运动，求:(1) 该质点的振动表达式；(2) 此振动以速度u=2m/sO x 沿x轴负方向传播时，波的表达式； (3) 该波的波长。
解:(1) 由题意可知A?0.06m,??2?/T??(1/s),
设振动表达式为 y?0.06cos(?t??0),
x x ? t = 0 时刻，质点的位移为0.03 m,且向正方向运动,?cos?0?0.5,?sin?0?0,?0???/3
y?0.06cos(?t??/3)
(2) 波的表达式y?0.06cos[?(t?x/2)??/3]?0.06cos[?(t?x/2)??/3](SI制)
(3) 波长??uT?4m
5．一列沿x正向传播的简谐波，已知t1?0和t2?0.25s时的波形如图所示。（假设周期T?0.25s）试求 （1）P点的振动表达式；（2）此波的波动表式；
y(m)0.2oPt1?0x(m)?0.2（3）写出o点振动方程并画出o点的振动曲线。
解:由图可知
T?4?0.25?1s,??0.6m,v??/T?0.6m/s,??2?/T?2?(1/s)
0.45mt2?0.25sy(m)(1)P点振动表达式yP?Acos(?t??P0)?0.2cos(2?t??/2)(SI制) x?0.3?x?(2) 波动表式y?0.2cos[2?(t?)?]?0.2cos[2?(t?)?](SI制) 0.620.62Ot(s)(3)O点振动方程yO?0.2cos(2?t??2)(SI制)
6．一平面简谐声波，沿直径为0.14m的圆柱形管行进，波的强度为9.0?10?3W/m2，频率为300Hz，波速
为300m/s。问：（1）波的平均能量密度和最大能量密度是多少？（2）每两个相邻的、相位差为2π的同相面间有多少能量？
122?5?3?A?u?wu,w?I/u?9.0?10?3/300?3.0?10?5J?m?3,wmax?2w?6.0?10J?m 21(2)V?s?,,w?wV??d2?w?4.62?10?7J
4解(1)I? 练习 十五 知识点：波的干涉、驻波、多普勒效应 一、选择题
1．如图所示，两列波长为? 的相干波在P点相遇．波在S1点振动的初相是??1，S1到P点的距离是r1；波在S2点的初相是??2，S2到P点的距离是r2，以k代表零或正、负整数，则P点是干涉极大的条件为： ( )
(A) r2?r1?k?； (B) ?2??1?2k?；
(C)
S1S2r1r2P
?2??1?2?(r2?r1)/??2k?； (D) ?2??1?2π(r1?r2)/??2kπ。
r??r解:(D) y1p?A1cos?2?(t?1)??1??A1cos?1,y2p?A2cos?2?(t?2)??2??A2cos?2
??uu????r?rr?r????2??1??2??1?2?21??2??1?2?12?2k?
??2．两个相干波源的相位相同，它们发出的波叠加后，在下列哪条线上总是加强的？ ( )
（A）两波源连线的垂直平分线上； （B）以两波源连线为直径的圆周上； （C）以两波源为焦点的任意一条椭圆上；（D）以两波源为焦点的任意一条双曲线上。
6
解: (A)????20??10?2?r2?r1?3．平面简谐波x?4sin(5πt?3πy)与下面哪列波干涉可形成驻波？ ( )
（A）y?4sin2π(2.5t?1.5x)； （B）y?4sin2π(2.5t?1.5x)； （C）x?4sin2π(2.5t?1.5y)； （D）x?4sin2π(2.5t?1.5y)。
解:(D)波方程x?4sin(5?t?3?y)中,x为各质点相对平衡位置的位移,y为质点平衡位置的坐标.
4．在驻波中，两个相邻波节间各质点的振动 ( ) (A) 振幅相同，相位相同； (B) 振幅不同，相位相同；
(C) 振幅相同，相位不同； (D) 振幅不同，相位不同。 解: (B) 相邻波节间各质点的振动振幅不同，相位相同。
5. 在波长为? 的驻波中，两个相邻波腹之间的距离为 ( ) (A) ??/4； (B) ??/2； (C) 3??/4； (D) ??。 解: (B) 两个相邻波腹（波节）之间的距离为??/2。
6?. 一机车汽笛频率为750 Hz，机车以时速90公里远离静止的观察者．观察者听到的声音的频率是（设空气中声速为340 m/s）． ( ) (A) 810 Hz； (B) 699 Hz； (C) 805 Hz； (D) 695 Hz。 解: (B)???,对相干波源,?20??10,在垂直平线上r2?r1,???0.
u?uu340?????750?699Hz ??(u?u源）Tu?u源340?257?. 设声波在媒质中的传播速度为u，声源的频率为vS，若声源S不动，而接收器R相对于媒质以速度?R沿S、R连线向着声源S运动，则接收器R接收到的信号频率为： ( )
u??Ru??RuvS； （C）vS； （D）vS。 uuu??Ru?u?v观u?v观解: (B)观察者收到的信号频率=测得的波速与波长的比值??????
??uTu（A）vS； （B）
二、填空题
1．设S1和S2为两相干波源，相距0.25?，S1的相位比S2的相位超前0.5?。若两波在S1与S2连线方向上的强度相同均为I0，且不随距离变化。则S1与S2连线上在S1外侧各点合成波的强度为＿＿＿＿＿，在S2外侧各点合成波的强度为_______________。
r?r0.25?解: S1外侧????20??10?2?21??0.5??2????,波的强度为零
?r?r?0.25?S2外侧????20??10?2?21??0.5??2??0，波的强度为4I0
???2．简谐驻波中，在同一个波节两侧距该波节的距离相同的两个媒质元的振动相位差为________。解:
?
3． 一驻波表式为y?4?10?2cos2πxcos400，在x?1/6(m)处的一质元的振幅为 ，t（SI制）
振动速度的表式为 。
解: A?4?10?2cos?2??1/6??2?10?2m,x?1/6m处质点振动方程为y?2?10?2cos400t,质点速度的表式
v??8sin400t(SI制).
4． （a）一列平面简谐波沿x正方向传播，波长为?。若在x?0.5?处质点的振动方程为y?Acos?t，则该平面简谐波的表式为 。
（b）如果在上述波的波线上x?L（L?0.5?）处放一垂直波线的波密介质反射面，且假设反射波的振幅衰减为A?，则反射波的表式为 （x?L）。 解: (a)y?Acos??t?x??/2?? u??x???2?x????Acos??t????? ??Acos??t?u2u???????x ?/2 P x (b)y?A?cos???t?
?????L??/2L?x?2?x4?L?
??????Acos????t??uu??????7
5．一驻波方程为y?Acos2πxcos100πt(SI制)，位于x1?3/8m的质元与位于x2?5/8m处的质元的振动位相差为 。 解: yx1?Acos3?2cos100?t??Acos100?t, 425?2cos100?t??Acos100?t；位相差为0 x282?
6. 一汽笛发出频率为700Hz的声音，并且以15m/s的速度接近悬崖。由正前方反射回来的声波的波长为（已知空气中的声速为330m/s） 。 解:???(u?u源）T?(u?u源）/??315/700?0.45m
y?Acos三、计算题
1．波速为u?0.20m?s的两列平面简谐相干波在P点处相遇，两个波源S1和S2的振动表式分别为
。已知PS1?0.40m，PS2?0.50m，求： y10?0.1cos2?t（SI制）和y20?0.1cos(2?t?π)（SI制）
（1）两列波的波函数；（2）两列波传播到P点的位相差；（3）干涉后P点的振动是加强还是减弱，以及P
点合振幅。
解:（1）设r1为空间某点到波源S1的距离, r2为空间某点到波源S1的距离,则
， y1?0.1cos2?(t?r1/0.2)?0.1cos(2?t?10?r1)（SI制）
y2?0.1cos[2?(t?r2/0.2)??]?0.1cos(2?t?10?r2??)（SI制） （2）在两波相遇处????20??10?2??1r2?r1?（3）???0,P点的振动加强，合振幅为0.2m
???2?0.50?0.40?0
0.22. 在弹性媒质中有一沿x轴正向传播的平面波，其表达式为y?0.01cos(4t?πx?π/2) (SI制)。若在x = 5.00 m处发生固定端反射，设反射波的强度不变，试写出反射波的表达式。 解: 入射波引起分界面处质点的振动方程
y?0.01cos(4t?5π?π/2)?0.01cos(4t?5.5π)
设反射波的表达式为y?0.01cos(4t?πx??0)
反射波引起分界面处质点的振动方程y?0.01cos(4t?5???0),反射波比入射波在分界面处引起质点的分振动相位落后?
4t?5???0?(4t?5.5?)???
?0??11.5?
y?0.01cos(4t?πx?11.5?)?0.01cos(4t?πx??/2)
xt3．设入射波的表达式为 y1?Acos2?(?)，在x = 0处发生反射，反射点为一固定端。设反射时无
?T能量损失，求：(1) 反射波的表达式；(2) 合成的驻波的表达式；(3) 波腹和波节的位置。 解: （1）入射波引起分界面处(x=0)质点的振动方程y10?Acos2πt/T
反射波比入射波在x=0处引起质点的分振动相位落后? 反射波引起x=0处质点的振动方程y20?Acos?2πt/T???
??tx??????
??T???x???t???（2）y?y1?y2?2Acos?2???cos?2???
??2??T2???k?0,1,2?；波腹x?(2k?1)k?0,1,2? （3）波节x?k244?． 一声源的频率为1080Hz，相对于地以30m/s的速率向右运动。在其右方有一反射面相对于地以65m/s的速率向左运动。设空气中的声速为331m/s。求
反射波的表达式为 y2?Acos?2π?（1）声源前方空气中声波的波长； （2）每秒钟到达反射面的波数； （3）反射波的速率。
8
?解:（1）???(u?u源）T?(u?u源）/??301/1080?0.279m
u?v观u?331?65???1080?1421Hz ??(u?v源)T331?30 （3）反射波的速率为331m/s。
（2）???5?． 如图所示，试计算：
（1）波源S频率为2040Hz，以速度?S向一反射面接近，观察者在A点听得拍音的频率为?v?3Hz，求波源移动的速度大小?S。设声速为340m/s。
（2）若（1）中波源没有运动，而反射面以速度??0.20m/s向观察者A接近。观察者在A点所听得的拍音频率为?v?4Hz，求波源的频率。 解: （1）?1????u????u(u?v?340340?v?2040 s)TSAS????u?u3402????(u?v??2040
s)T340?vS?????3403402?340?vs2??1340?v?2040??2040?2?2040?3
S340?vS3402?vs vS?0.25m/s
（2）?u?1?2040,?2???????u?v(u?v)T?340?0.2340?0.2?? ????.22??1?340339.8?????4,??3398Hz 9
反射面