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由A1E与EB1共线得：存在??R使A1E=
?1?????．同理：C1（0，3，0）．所以A1B1? ?z?3，所以B1（0， 0，3）?EB1得?2?1??(z?1)?
?3???,0,3?， ?2??3?A1C1???,3,0?．设n1?(x1,y1,z1)是平面
?2?
A1B1C1的一个法向量，则{A1B1?n1?0,A1C1 ?n1?0． ????即?????3232x1?3z1?0,
令x1?2得y1?z1=1．
x1?3y1?0.n1?n2|n1|?|n2|
所以cosn1,n2?=
14?1?1
?66．由图可知，所以求二面角的大小为
arccos66．
AD
8．【解析】（1）证明： 如图，过点A在平 面A1ABB1 内作
⊥A1B于D，
则由平面A1BC⊥． 侧面A1ABB1，且平面A1BC?侧面A1ABB1=A1B，得AD⊥平面A1BC．又BC?平面A1BC，所以AD⊥BC．因为三棱柱
ABC-A1B1C1是直三棱柱，则AA1⊥底面ABC，所以AA1⊥BC．又AA1?AD=A，从而BC⊥侧面A1ABB1，又AB?侧面A1ABB1，故AB⊥BC．
（2）解法一：连结CD，则由（1）知∠ACD是直线AC与平面A1BC所成的角，∠ABA1是二面角A1?BC?A的平面角，即∠ ACD?
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?，∠ABA1??．于是在Rt?ADC中，sin?
=
ADAC[来源:Zxxk.Com]
??，在Rt?ADB中，sin?ADAB，由AB
2?
解法二：由（1）知， 以点B为坐标原点， 以BC、BA、BB1所在 的直线分别为x轴、y 轴、z轴建立如图所示
的空间直角坐标系，设AA1?a,AC?b,AB?c，则B（0，0，0），A（0，c，0），C(b2?c2,0,0)，BA1?(0,c,a)，
AC?(b2`2?c,?c,0),AA1，(0,0,a) ．设平面A1BC的一个法向量为n?(x,y,z)，则由
??n?BA1?0,??cy?az?0,得?可取n?（0，?a,c）于是n?AC?ac?0，AC与n的夹?22???b?cx?0.?n?BC?0,角?为锐角，则?与?互为余角．sin??cos
n?AC|n|?|AC|acba?c?ca?c22 ???22，cos?
?BA1?BA|BA1|?|BA|，所以即sin?[来源:Zxxk.Com]
????sin?，又?、???0,?，所以???．
?2?9．【解析】：解法一： （1）∵AC=BC= a，∴?ACB 是 等腰三角形，又D 是AB的中
点，∴CD⊥AB，又VC⊥底面ABC，∴VC⊥AB．又CD?VC?C，于是AB⊥平面VCD．又AB?平面VAB，∴平面VAB⊥平面VCD．
（2）过点C在平面VCD内作CH⊥VD于H，则由（1）知CH⊥平面VAB．连结BH，于是∠CBH就是直线BC与平面VAB所成的角．在
CH?22asRt?CHD中，
?；设∠iCBH=?n，在Rt?BHC中CH?asin?，
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∴
22sin??sin?．∵0????2，∴0?sin??1，
0?sin??22．又0????2，∴0????4即直线BC与平面VAB所成角的取值范围为
????0,?．?4?[来源学_科_网][来源:Z§xx§k.Com]
解法二：（1）以CA、CB、CV所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（a，0，0），B（0，a，0），D???2?aa??，atan?? ,,0?V0,0??2?22??? 于是VD???aa?,,0?,AB?(?a,a,0)．从而?22??aa?1212AB?CD=(?a,a,0)??,,0??a+a+0=0，即AB⊥VD．又CD?VD?D，∴AB⊥
2?22?2平面VCD．又AB?平面VAB， ∴平面VAB⊥平面VCD．
[来源Zxxk.Com]
（2）设直线BC与平面VAB所成的角为?，平面VAB的一个法向量为n?(x,y,z)，则由 n?AB?0,n?VD?0．得
??ax?ay?0,?可取n?，(1,1,2cot?)，又BC?(0,?a,0)，于是 ?aa2aztan??0.?x?y?22?2sin??n?BC|n|?|BC|
?a?a2?2cot?2?22sin?，∵0????2，∴0?sin??1,0?sin??22．又
0????2，∴0????4．即直线BC与平面VAB所成的角的取值范围为?0,?????． 4?新课标教学网（www.xkbw.com）--海量教学资源欢迎下载！第- 8 -页 共8页