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有关“认识不等式”若干问题问答
作者：邬云德
来源：《中学数学杂志(初中版)》2014年第04期
《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标（2011年版）》）倡导旨在培养学生智慧的“过程教育”——关注数学结果的形成、应用的过程和获得数学结果（或解决问题）之后反思的过程.但调研发现大多数教师的课堂教学不符合“过程教育”要求.基于“过程教育”的浙教版课标教材八年级上册“31认识不等式”的教学应该怎样操作？本文以问答的形式呈现这节课的几个节点问题及参考答案，供读者参考、研究.
问：数学结果是课程内容的主要组成部分.这节课涉及哪些数学结果？其研究背景及地位与作用分别是什么？
答：数学结果包括数学中的事实、概念、性质、定理、公式、法则、规律、方法、问题与结论等.根据数学结果的含义，从不等式的概念体系中可以析出其涉及的数学结果有：生活中的不等关系及蕴含的生活常识；描述不等关系的三种语言，不等式的概念（包括名称、定义、属性、示例）及定义不等式的基本步骤；列不等式的方法，简单不等式在数轴上的表示方法；用不等式解决有代表性的问题.其逻辑关系可用图1表示.图1不等式是在认识代数式、一次方程等知识的基础上提出来的；它是刻画现实世界数量不等关系的重要数学模型；尽管不等式是在小学阶段初步认识基础上的再认识，但小学阶段对不等式的认识比较肤浅，有进一步认识的必要.“认识不等式”是系统认识不等式的起点；其涉及的表示数量不等关系的三种语言之间的相互转化的技能是进一步认识不等式的基本技能；具体到抽象和特殊到一般的研究方法对认识数学有指导作用.
问：数学结果的形成、应用的过程和蕴含的数学思想方法也是课程内容的有机组成部分.这节课的认知过程和认知条件分别是什么？其认知价值及认知障碍分别有哪些？
答：认知过程是指获得有关数学结果（或解决问题）的步骤.认知条件是指认知所需要的必要条件（学习中不可缺少的条件——学习新知识必须具有的先决条件）和支持性条件（对学习起“催化剂”作用的条件——数学认知策略、数学思想方法、数学活动经验、态度等）.认知价值是指认知过程和蕴含的数学思想方法对发展学生智力、能力和个性的影响.认知障碍是指学生在认知过程中可能会遇到的困难.例如，运用学习任务分析理论，获得不等式概念的认知过程和认知条件的分析结果可用图2表示.图2从图2可以看出：获得不等式概念的基本步骤是：①从“现实情境”中抽象出若干具体不等式；②观察具体不等式的特征；③归纳不等式的本质特征；④用文字和符号定义不等式.获得不等式概念的必要条件是：具有产生不等式所需要的生活常识和数学常识，具有列式的经验.获得不等式概念的支持性条件是：多角度观察研究对象特征的经验，特殊到一般的归纳思想，定义研究对象的经验.尽管不等式可以看成是来自生活现实的数学抽象，也可以看成是数学自身逻辑的产物，但从文字、符号、图形表示不等关系情境中产生不等式能反映描述数量不等关系有三种方式.类似地分析获得其他数学结果的认知过