大一《高等数学A》
一、单项选择题）
??1,1．设f?x?????0,x?1x?1，则f?f?f?x????（ ）
??1,??0,x?1x?1 A. 0 B. 1
C. ?
D.???0,??1,x?1x?1
2．设函数f(x)连续, 且f?(0)?0, 则存在??0, 使得（ ）
A.f(x)在(0,?)内单调增加. B.f(x)在(??,0)内单调减小. C.对任意的x?(0,?)有f(x)?f(0) D.对任意的x?(??,0)有f(x)?f(0).
3．设x?0时，etanx?esinx与xn是同阶无穷小，则n为（ ） A. 1
B. 2
14 C. 3
1 D.4
4．在???,???内方程xA.无实根
C.有且仅有两个实根
?x2?cosx?0（ ）
B.有且仅有一个实根
D.有无穷多个实根
5．设f?x?对任意x均满足f?1?x??af?x?，且f??0??b，其中a?b为非0非1的常 数，则（ ） A.f?x?在x?1处不可导
B.f?x?在x?1处可导，且f??1??a
C.f?x?在x?1处可导，且f??1??b D.f?x?在x?1处可导，且f??1??ab x6．设f????f?x?且在?0,???内f??x??0,?，x????,???，f???x??0，则在???,0?
内（ ）
A.f??x??0,f???x??0 C.f??x??0,f???x??0
B.f??x??0,f???x??0
D.f??x??0,f???x??0
二、填空题（每小题4分,共24分）
7．设函数f?x?可表示成f?x??F?x??G?x?，其中F(x)为偶函数，G?x?为奇函数，则F?x?= ,G?x?= .
8．lima?1xlnaxx?0? . ?1?1?x,?9．设f?x???x?a?bx,?x?0x?0，则当a? ，b? 时，f?x?处处可导。
10．设y?f?x?由方程e2x?y?cosxy?e?1所确定，则曲线y?f?x?在?0,1?处的法线方
程为 .
11．设f?u?可导，函数y?y?x?由xy?yx?f?x2?y2?所确定，则dy? .
212．设f?x?有任意阶导数且f??x??f(x)，则f?n??x?? .（n>2）
三、解答题（每小题9分，共27分）
x?sint?sint?sinx 13．求极限lim?，记此极限为f?t?xsinx???x?，求f?x?的间断点，并指出其类型.
.
?x4?1? 14．设y?f?2?，f??x??lnx?1??x，求dydx2x 15．已知f?x??3x?e在x?1处f??1??6?e，f?x?有反函数??x?，求???3?e?.
四、证明题（每小题9分，共18分）
16．设x0?0,xn?1?sin?xn?1?1?，n?1,2,?，证明数列?xn?收敛，并求limxn。
n?? 17．设f?x?在?0,1?上二次可微，且f?0??f?1??0，证明：存在???0,1?，使
2f??????f??????0.
五、应用题（本题7分）
18．溶液自深18cm顶直径12cm的正圆锥形漏斗中漏入一直径为10cm的圆柱形筒中，开始时漏斗中盛满了溶液。已知当溶液在漏斗中深为12cm时，其表面下降的速度为1cm/s，问此时圆柱形筒中溶液表面上升的速度为多少？
参考答案
一、单项选择题:
1. B 2. C, 3. C, 4. C, 5. D, 6. A. 二、填空题： 7．F?x??8．1
12[f(x)?f(?x)];G?x??12[f(x)?f(?x)]
9．a?12,b?18,
10．x?2y?2?0,
2222yx?12xyf??x?y??y?x?y?x?lny11．dy??n?yxy?122lnx?x?y?2xyf??x?y?2x2dx;
12．f?x??n!fn?1(x)
x三、解答题：
?x??sint?13．解：f?x??exp?lim??1???esinx， ??sint?sinx??t?x?sinx间断点为x?kπ?k?0,?1,?2,??。
因为limf?x??e，所以x?0为第一类间断点，其余间断点属于第二类，无穷间断点。
x?014．解：令u?x?1x?124，则
dudx?2x?4x?x2?1?2，所以
dy??x4?1??4x??f??22x???22dxdudx?x?1??1?x???dydu??2???x?1?22?1?x?????1?4x?1??ln。 2?x?1??16?e15．解：因f?1??3?e，所以，??3?e??1，???3?e??四、证明题：
16．证明：x1?1?sin?0?1??x0?0，0?x?1。
f??1?。
假设xn?xn?1和0?xn?1，则xn?1?xn?sin?xn?1??sin?xn?1?1??0和
0?xn?1?1，所以limxn存在。
n??设limxn?c，在xn?1?sin?xn?1?1?两边令n??，有c?1?sin?c?1?，所以
n??c?1?0，即c?1。
17．证明：令F?x??xf?x?。在?0,1?上，F??x??f?x??xf??x?，F?0??F?1??0，由罗尔定理，存在c??0,1?，使F??c??0。
又F??0??f?0??0，F???x??2f??x??xf???x?，x??0,1?，再对F??x?应用罗尔定理，存在???0,c???0,1?，使F??????0，即2f??????f??????0。
五、应用题：
18．解：设漏斗在时刻t的水深为h（cm），筒中的水深为H（cm），则漏斗中水面半径满足
r6?h181313，即r?13h。设盛满溶液时漏斗的体积为V0?22π?6?18，则有
2 V0?πrh?π?5H?t?
上式两边对t求导，得 25代入
dhdtdHdt??19h2dhdt。
??1?cm/s?，h?12cm，得圆柱形容器中溶液表面上升的速度为
dHdt??121?????1???925?2?4 /s??0.6?4cm?。
?52