2013年七市联考数学试题(理工类)（B卷）
参考答案
一、选择题： CABAB DCBAD 二、填空题：11.
72 12.1 13.（Ⅰ）?8 （Ⅱ）22 1014.（Ⅰ）a1?a2?a3（Ⅱ）a1?a2?a3???an 15.4 16.5?2
??（注：填空题中有两个空的，第一个空2分，第二个空3分） 三、解答题 17.解：（Ⅰ）
f(x)?m?n?3sin2x?2?2cos2x?3sin2x?cos2x?3
?2sin(2x?)?3 ……………3分
62?∴f(x)的最小正周期T??? ……………4分
2?????由2k???2x??2k??,k?Z得k???x?k??,k?Z
26236????∴f(x)的单调递增区间为?k??,k???(k?Z) ……………6分 36??????1??（Ⅱ）由f(A)?4得2sin?2A???3?4，sin?2A??? 6?6?2????13??5??∵0?A?? ∴?2A?? ∴2A?? ,A?……………8分
666663
?B?C?2?3
?法一：又
?abc?? ，?b?c?2(sinB?sinC)?2[sinB?sin(?B)] sinAsinBsinc3???23sin(B?)?23 6时，b?c最大为23 ……………12分 3法二：a2?b2?c2?2bccosA即
b?c23?b2?c2?bc?(b?c)2?3bc?(b?c)2?3()
2(b?c)2?12,b?c?23；当且仅当b?c时等号成立。 ……………12分 ∴当B?18.解：（Ⅰ）由题意(1?a2)2?a1(a3?1)，即(1?121a1)?a1(a1?1) 241122?T??b2?8??(8?d)又?1，即? ……………4分
T?2?b16?d?2?(8?2d)3??21
解得a1?，∴an?()n ……………2分
1????11???解得?（舍）∴?? ……………6分 2 或?2?d?0??d?81（Ⅱ）由（Ⅰ）知Sn?1?()n
21111∴Sn??()n?1? ① ……………8分 222411111又Tn?4n2?4n，??(?)
Tn4n(n?1)4nn?1111111111111∴?????(1???????)?(1?)? ②…11分 T1T2Tn4223nn?14n?141111????Sn ……………12分 由①②可知?T1T2Tn219.解：（Ⅰ）证：连结DB1 、DC1 ∵四边形DBB1D1为矩形，M为D1B的中点 ……2分
∴M是DB1与D1B的交点，且M为DB1的中点
∴MN∥DC1，∴MN∥平面DD1C1C ……………4分
?上， ?1?为矩形，B.C在A1A2上，B1.C1在A1?A2（Ⅱ）解：四边形A1A2A2A且BB1∥CC1∥A1A1'，A1B = CA2 = 2，BC?22，
∴∠BDC = 90° ……………6分
以DB、DC、DD1所在直线分别为x.y.z轴建立直角坐标系，则 D(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，D1(0，0，?)，B1(2，0，?)，C1(0，2，?)
点M、N分别为D1B和B1C1的中点，
∴M(1，，0)，N(1，，1?)
?2设平面D1MN的法向量为m = (x，y，z)，则
??z??，?2，)?0?x?2y??0?(x，y，z)?(1??， 22??，?1，?)?0??(x，y，z)?(1?x?y??z?0令x = 1得：y??1，z?2?1，) ……………8分 即m?(1，2?
?设平面MNC的法向量为n = (x，y，z)，则
??z??3??y，z)?(1，?1，)?0?0?(x，?x?2y?，令z = 1得：x??，y?????2222 ??y，z)?(1，?1，?)?0?(x，?x?y??z?03??，?，1) ……………10分 即n?(?223??2∵二面角D1－MN－C为直二面角 ∴m⊥n，故m?n?????0，解得：??2
22?∴二面角D1－MN－C为直二面角时，??2． ……………12分
2
20.解：（Ⅰ）这60人的月平均收入为(20?0.015?30?0.015?40?0.025?50?0.02
?60?0.015?70?0.01)?10?43.5 （百元） ……………4分 （Ⅱ）根据频率分布直方图可知
?15,25?的人数为10?0.015?60?9人
?25,35?的人数为10?0.015?60?9人 ……………6分
X的所有取值可能为0,1,2,3
333312C8C7C82C7C8C2C175P(X?0)?3?3? P(X?1)?3?3?3?37?
C9C918C9C9C9C93612312C82C2C7C8C2C2P(X?2)?3?3?3?37?
C9C9C9C9912C82C7C1P(X?3)?3?32? …… ……10分
C9C936∴X的分布列为 3 0 1 2 X 17152 P 363691851721?2??3??1∴EX?0??1?……………12分
1836936
21.解：（Ⅰ）∵
ORCR?13n?1??，∴R(,0)，R?(3,) ……………1分 OFCFnnn1x?1 ① ……………2分 3n又G(0,1) 则直线GR?的方程为y??又E(0,?1) 则直线ER的方程为y?nx?1 ② 323nn2?1由①②得P(2,)
n?1n2?123n(2)2n2?14n2?(n2?1)22n?1∵?(2)??1
3n?1(n2?1)2x2?y2?1上 ……………4分 ∴直线ER与GR?的交点P在椭圆?:3（Ⅱ）①当直线MN的斜率不存在时，设MN:x?t(?3?t?3)
t2t21不妨取M(t,1?),N(t,?1?) ∴kGM?kGN? ,不合题意……………5分
3333
②当直线MN的斜率存在时，设MN:y?kx?b
M(x1,y1),N(x2,y2 )?y?kx?b?联立方程?x2 得 2?y?1??3(1?3k2)x2?6kbx?3b2?3?0
则??12(3k2?b2?1)?0
?6kb3b2?3x1?x2?，x1?x2? …………7分 221?3k1?3k又kGM?kGNy1?1y2?1k2x1x2?k?b?1??x1?x2???b?1?22????
x1x2x1x23即(3k2?2)x1x2?3k(b?1)(x1?x2)?3(b?1)2?0
?6kb3b2?32，x?x?将x1?x2?代入上式得b?2b?3?0 12221?3k1?3k解得b??3或b?1（舍）
∴直线过定点T(0,?3) ……………10分 ∴|MN|?1?k2|x1?x2|，点G到直线MN的距离为d?41?k2
∴S△GMN13k2?82?|MN|?d?2|x1?x2|?2(x1?x2)?4x1x2?43? 21?3k22由b??3及??0知：3k?8?0，令3k2?8?t(t?0) 即3k2?t2?8
3k2?8t1123t?3???∴ 当且仅当时，……13分 ??S??GMNmax1?3k2t2?9t?963tx?112x2?2(1?k)x?1?22、解：（Ⅰ）F(x)?lnx?k? F(x)??k? --- 1分
x?1x(x?1)2x(x?1)2222由x?2(1?k)x?1?0的判别式??4(1?k)?4?4(k?2k)
4
①当??0即k??0,2?时，F?(x)?0恒成立，则F(x)在(0,??)单调递增 ……2分
k2?2k,k?1?k2?2k ②当k?0时，F?(x)?0在(0,??)恒成立，则F(x)在(0,??)单调递增 ……3分 ③当k?2时，方程x2?2(1?k)x?1?0的两正根为k?1?则
F(x)在(0,k?1?k2?2k)单调递增，(k?1?k2?2k,k?1?k2?2k)单调递减，
单调递增 (k?1?k2?2k,??)综上，当k?2时，只有单调递增区间(0,??) 当k?2时，单调递增区间为(0,k?1?单调递减区间为(k?1?k2?2k)，(k?1?k2?2k,??)
k2?2k,k?1?k2?2k) …… 5分
（Ⅱ）即x?1时，F(x)?0恒成立
当k?2时，F(x)在(0,??)单调递增 ∴当x?1时，F(x)?F(1)?0满足条件 …7分
当k?2时，F(x)在(k?1?则F(x)在(1,k?1?k2?2k,k?1?k2?2k)单调递减
k2?2k)单调递减
此时F(x)?F(1)?0不满足条件 故实数k的取值范围为
???,2? …… 9分
x?1在(1,??)恒成立 x?11an21221??令x?1?2 则 ln(1?2)?2? …… 10分 12an2?12an?1anan2?2ann1111????) …… 11分 ∴?ln(1?2)?2(ai2a1?12a2?12an?1i?1111又(????)?(2a1?1)?(2a2?1)???(2an?1)??n2
2a1?12a2?12an?11112n2∴2( ……13分 ????)?2a1?12a2?12an?1n?2（Ⅲ）由（2）知，lnx?2?12n2∴?ln(1?2)? …… 14分
ain?2i?1n
注：解答题中，若有不同解法，只要思路清晰，解法正确，请酌情给分。
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