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二维导热物体温度场的数值模拟
1 二维导热物体温度场的数值模拟
一、物理问题
有一个用砖砌成的长方形截面的冷空气通道，其截面尺寸如下图1-1所示，假设在垂直
于纸面方向上用冷空气及砖墙的温度变化很小，可以近似地予以忽略。在下列两种情况下试计算： 砖墙横截面上的温度分布；垂直于纸面方向的每米长度上通过砖墙的导热量。
第一种情况：内外壁分别均匀维持在0℃及30℃；
第二种情况：内外壁均为第三类边界条件，且已知：
t?1?30?C,h1?10.35W/m2?KW/m?K t?2?10?C,h2?3.93砖墙导热系数??0.35/m?K2图1-1二、数学描写
由对称的界面必是绝热面，可取左上方的四分之一墙角为研究对象，该问题为二维、稳
态、无内热源的导热问题。
控制方程：
?2t?2t ??0
?x2?y2 边界条件： 第一种情况：
由对称性知边界1绝热： qw?0； 边界2为等温边界，满足第一类边界条件： tw?0?C； 边界3为等温边界，满足第一类边界条件： tw?30?C。 第一种情况：
由对称性知边界1绝热： qw?0；
图1-2?t)w?h2(tw?tf)； ?n?t边界3为对流边界，满足第三类边界条件： qw???()w?h2(tw?tf)。
?n边界2为对流边界，满足第三类边界条件： qw???(
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三、方程离散
用一系列与坐标轴平行的间隔0.1m的二维网格线
将温度区域划分为若干子区域，如图1-3所示。
采用热平衡法，利用傅里叶导热定律和能量守恒定律，按照以导入元体（m,n）方向的热流量为正，列写每个节点代表的元体的代数方程，
第一种情况： 边界点：
边界1（绝热边界）：
tm,1图1-31?(2tm,2?tm?1,1?tm?1,1)，m?2~5 41?(2t15,n?t16,n?1?t16,n?1)，n?8~11 4 t16,n边界2（等温内边界）： m,n tm,n内节点：
t?0,m?6,n?1~7;m?7~16,n?7
?30,m?1,n?1~12;m?2~16,n?12
边界3（等温外边界）：
tm,n?1(tm?1,n?tm?1,n?tm,n?1?tm,n?1)4
m?2~5,n?2~11;m?6~15,n?8~11 第二种情况 边界点：
边界1（绝热边界）： tm,11?(2tm,2?tm?1,1?tm?1,1)，m?2~5 41(2t15,n?t16,n?1?t16,n?1)，n?8~11 4
t16,n?边界2（内对流边界）：
t6,n?2t5,n?t6,n?1?t6,n?1?2Bi?1t12(Bi??2)2
，n?1~6
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tm,7?2tm,8?tm?1,7?tm?1,7?2Bi?1t12(Bi?1?2)2t2,n?t1,n?1?t1,n?1?2Bi?2t22(Bi?2?2)2(Bi?2?2)，m?7~16
边界3（外对流边界）：
t1,n?，n?1~11
，m?2~16
tm,12内角点： t6,7外角点：
?2tm,11?tm?1,12?tm?1,12?2Bi?2t22(t5,7?t6,8)?t7,7?t6,6?2Bi?1t1?
2(Bi?1?3)t 1,12 内节点：
t2,12?t1,11?2Bi?2t2?2(Bi??1)
1tm,n?(tm?1,n?tm?1,n?tm,n?1?tm,n?1);4
m?2~5,n?2~11;m?6~15,n?8~11 （Bi?1?
2h2?x?,t1?t?2?10 ；Bi?2?2h1?x?,t2?t?1?30）
四、编程思路及流程图
编程思路为设定两个二维数组t(i,j)、ta(i,j)分别表示本次迭代和上次迭代各节点的温度值，iter（实际编程时并未按照此名称来命名迭代步长）表示迭代进行的次数, Q1、Q2分别表示外边界、内边界的散热量。开始时，给t(i,j）、ta(i,j) 赋相同的初始值，t(i,j)根据内节点和各边界节点的离散方程进行迭代，迭代后比较t(i,j)、ta(i,j)各个节点之间温度之差，若两个温度之差小给定的精度，则此时迭代完成，t(i,j)就是所求的温度场分布，若两温度之差不满足精度要求，则将t(i,j）的值赋给ta(i,j)，t(i,j)继续迭代，直到二者各个点的温度之差满足精度要求，记下此时的迭代次数，并根据所得到的温度场分布计算内外边界上散热量以及偏差。
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4 二维导热物体温度场的数值模拟
开始 输入已知参数 说明边界条件 取定初始试探值 t（i,j）=0 ta（i,j）=t（i,j）
iter=1 计算新的内节点温度及新的边界点温度t（i,j） ta（i,j）=t（i,j） iter=iter+1
计算内外边界上散热量及其平均值、偏差 输出t（i,j）、iter 平均导热量及偏差 结束 图1-44