三角函数
5、半径为r的圆的圆心角?所对弧的长为l，则角?的弧度数的绝对值是6、弧度制与角度制的换算公式：2?7、若扇形的圆心角为???lr．
?360，1??180，
??为弧度制?，半径为r，弧长为l，周长为C，面积为S，则l?r?，C?2r?l，
是一个任意大小的角，?的终边上任意一点
11S?lr??r2．8、设?22?的坐标是?x,y?，它与原点的距离是
rr?x2?y2?0??，则sin??yxy，cos??，tan???x?0?． rrx9、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，
第三象限正切为正，第四象限余弦为正．11、角三角函数的基本关系：
?1?sin2??cos2??1?2?sin??tan?cos??sin2??1?cos2?,cos2??1?sin2??；
sin???sin??tan?cos?,cos????．12、函数的诱导公式：
tan????1?sin?2k?????sin?，cos?2k?????cos?，tan?2k?????tan??k???． ?2?sin???????sin?，cos???????cos?，tan??????tan?． ?3?sin??????sin?，cos?????cos?，tan??????tan?． ?4?sin??????sin?，cos???????cos?，tan???????tan?．
口诀：函数名称不变，符号看象限．
?5?sin??
??????????????cos?，cos?????sin?．?6?sin?????cos?，cos??????sin?． ?2??2??2??2??口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．
13、①的图象上所有点向左（右）平移上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的
?1个单位长度，得到函数
y?sin?x???的图象；再将函数y?sin?x???的图象
再将函数y?sin??x???y?sin??x???的图象；
?倍（纵坐标不变），得到函数
的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的?倍（横坐标不变），得到函数 14、函数
y??sin??x???的图象．
y??sin??x??????0,??0?的性质：
2?①振幅：?；②周期：???；③频率：f?1???2?；④相位：?x??；⑤初相：?．
15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：
1
性 质 函 数 y?sinx y?cosx y?tanx 图象 定义域 值域 R R ???xx?k??,k???? 2??R ??1,1? 当x?2k????1,1? 当x?2k??k???时， ?2?k???时，?2最值 ymax?1；当x?2k?? ymax?1；当x?2k??? 既无最大值也无最小值 ?k???时，ymin??1． 周期性 奇偶性 2? 奇函数 ?k???时，ymin??1． 2? 偶函数 ? 奇函数 ????在?2k??,2k??? 22???k???上是增函数；在 单调性 在?2k???,2k???k???上是增函数；在?2k?,2k???? ????在?k??,k??? 22???3??? 2k??,2k????22???k???上是减函数． ?k???上是增函数． ?k???上是减函数． 对称中心?k?,0??k??? 对称性 对称轴x?k???2?k??? ???对称中心?k??,0??k??? 2??对称轴x?k??k??? ?k??对称中心?,0??k??? 2??无对称轴
余弦定理主要解决的问题：
①已知两边和夹角，求其余的量。 ②已知三边求角）
11、如何判断三角形的形状：判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式
b、c是???C的角?、?、C的对边，设a、则：①若a?b?c，则C?90；②若a?b?c，则C?90
2
222222
abc??222③若a?b?c，则C?90．2. △ABC中，cosAcosBcosC，则△ABC一定是
（ D ）
A 直角三角形 B 钝角三角形 C 等腰三角形 D 等边三角形
2B?60b3. △ABC中，，?ac，则△ABC一定是 （ D ）
A 锐角三角形 B 钝角三角形 C 等腰三角形 D 等边三角形
三角恒等变换和解三角形基本知识回顾 1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：
令???sin??????sin?cos??cos?sin?????sin2??2sin?cos?
cos??????cos?cos? tan??????令???sin?sin?????cos2??cos2??sin2? ??2cos2??1?1?2sin2?tan??tan?1+cos2? ?cos2?＝1tan?tan?21?cos2? ?sin2?＝22tan? tan2??1?tan2?37sin(???)cos??cos(???)sin??，那么cos2?的值为____（答：）； 525例：（3）已知
2. 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与角 之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有:
（1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如??(???)???(???)??，2??(???)?(???)，2??(???)?(???)，
????2????2，
???2?????2??????2? sinxcosx ”的内存联等），正余弦“三兄妹—sinx?cosx、系――“知一求二”，例（1）已知tan(???)?32?1?，tan(??)?，那么tan(??)的值是_____（答：）；
225444例（2）求值sin50(1?3tan10)（答：1）；
1sin?cos?2?1,tan(???)??，求tan(??2?)的值（答：）
81?cos2?353(x?R)的单调递增区间为___________ 例（4）函数f(x)?5sinxcosx?53cos2x?2?5?,k??](k?Z)）例（5）若 sinx?cosx?t，则sinxcosx? __（答：（答：[k??1212t2?1?)，特别提醒：这里t?[?2,2]；
24?7例（6）若??(0,?),sin??cos??1，求tan?的值。（答：?）；3、辅助角公式中辅助角的确定：
23basinx?bcosx?a2?b2sin?x???(其中?角所在的象限由a, b的符号确定，?角的值由tan??确定)
a例（3）已知
3
在求最值、化简时起着重要作用。变式训练1：在△ABC中，角A、B 、C满足4sin2的度数.
解 在△ABC中，A+B+C=180°, 由4sin2得4·7A?C-cos2B=, 227A?C-- cos2B=,求角B221?cos(A?C)7-2cos2B+1=, 22所以4cos2B-4cosB+1=0.
于是cosB=,B=60°.．(2007·四川 )已知cos??(Ⅰ)求tan2?的值.（Ⅱ）求?.
【解题思路】由同角关系求出tan?再求tan2?；又?????????结合角?的范围定角。
21?1??2[解析]（Ⅰ）由cos??,0???，得sin??1?cos??1????43 727?7?12?113,cos(???)?,且0
2714∴tan??sin?4372?4383 ???43，于是tan2??2tan????22cos?711?tan?1?4347??（Ⅱ）由0??????2，得0??????2
213?3313又∵cos??????，∴sin??????1?cos2??????1?? ???1414?14?由?????????得：cos??cos???????????
?11343331.(2009山东卷理)(本?cos?cos??????sin?sin??????????,所以??变式训练3：
37147142小题满分12分)设函数f(x)=cos(2x+(1) (2)
?2)+sinx. 31c1，f()??，且C为锐角，求sinA.解: （1）324求函数f(x)的最大值和最小正周期. 设A,B,C为?ABC的三个内角，若cosB=
f(x)=cos(2x+
???1?cos2x132)+sinx.=cos2xcos?sin2xsin???sin2x 3332221?3,最小正周期?. 2所以函数f(x)的最大值为（2）f()=
c21?133?sinC=－, 所以sinC?, 因为C为锐角, 所以C?,
432224
又因为在?ABC 中, cosB=
123, 所以 , 所以 sinB?33sinA?sin(B?C)?sinBcosC?cosBsinC?文)(本小题满分12分)设函数f(x)=2sinxcos（1）求?.的值;
2211322?3.变式训练5：(2009山东卷2????323262?cosxsin??sinx(0????)在x??处取最小值.
?（2）在?ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,已知a?1,b?解: （1）f(x)?2sinx?2,f(A)?3,求角C.. 21?cos??cosxsin??sinx 2?sinx?sinxcos??cosxsin??sinx ?sinxcos??cosxsin? ?sin(x??)
因为函数f(x)在x??处取最小值，所以sin(???)??1,由诱导公式知sin??1,因为0????,所以??所以f(x)?sin(x??2.
?2)?cosx
（2）因为f(A)??33,所以cosA?,因为角A为?ABC的内角,所以A?.又因为a?1,b?2,所以由
622正弦定理,得
abbsinA12?,也就是sinB?, ?2??sinAsinBa223?.
44?3???7??3???. 当B?时,C?????;当B?时,C????4464126412因为b?a,所以B??或B?【命题立意】:本题主要考查了三角函数中两角和差的弦函数公式、二倍角公式和三角函数的性质,并利用正弦定理解得三角形中的边角.注意本题中的两种情况都符合.
变式训练六：2009全国卷Ⅰ理）在?ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a?c?2b，且sinAcosC?3cosAsinC, 求b 解法一：在?ABC中
22sinAcosC?3cosAsinC,则由正弦定理及余弦定理
a2?b2?c2b2?c2?a2?3c,化简并整理得：2(a2?c2)?b2.又由已知a2?c2?2b?4b?b2.解得有:a2ab2bc. b?4或b?0(舍） 5
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