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问题二：应用三角函数的性质求解参数问题
三角函数,因为其函数性质的特殊性,如正弦函数和余弦函数的有界性,往往在确定变量范围,或者最大值最小值有关问题上起着特殊的作用.如果试题本身对自变量的取值范围还有限制,则更应该充分注意. 一、与函数最值相关的问题
【例1】【2017河南省天一大联考】已知函数f(x)?（1）求函数f(x)的最小正周期与单调递增区间；
3sin2x?cos2x?m． 2（2）若x???5?3??,?时,函数f(x)的最大值为0,求实数m的值．244??[来源:学&科&网]
【分析】（1）f(x)化为sin(2x??12????)?m?,可得周期T???,由??2k??2x???2k?可622262得单调递增区间；（2）因为x??解得m?1???4???5?3??,?,所以2x???,?,进而f(x)的最大值为1?m??0,
26?43??244?1. 2【解析】（1）f(x)??1331?cos2xsin2x?cos2x?m?sin2x??m?sin(2x?)?m?,
62222则函数f(x)的最小正周期T??, 根据??2?2k??2x??6??2?2k?,k?Z,得??6?k??x??3?k?,k?Z,
所以函数f(x)的单调递增区间为???????k?,?k??,k?Z．
3?6?（2）因为x??即1?m???????4???5?3??,?,所以2x???,?,则当2x??,x?时,函数取得最大值0,
6236?43??244?11?0,解得m?． 22【点评】三角函数的最值问题,大多是含有三角函数的复合函数最值问题,常用的方法为：化为代数函数的最值,也可以通过三角恒等变形化为求y＝Asin(ωx＋φ)＋B的最值；或化为关于sinx(或cosx)的二次函数式,再利用换元、配方等方法转化为二次函数在限定区间上的最值。 【小试牛刀】【2016江西省南昌二中高三上第三次考试】已知函数
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f(x)??sinx?a2sin(x?)
?42sin(?x)21?cos2x?（Ⅰ）求函数y = f（x）的单调递增区间； （Ⅱ）当x ∈ ［0,
5?2］ 时,函数 y = f（x）的最小值为 1?,试确定常数a的值． 122二、根据函数单调性求参数取值范围
如果解析式中含有参数,要求根据函数单调性求参数取值范围,通常先求出函数的单调区间,然后利用集合间的关系求解．或转化为使得某个等式或不等式(可以、恒)成立,通常分离参数,求出解析式的范围或最值,进而求出参数的范围即可.
π??π??【例2】已知ω＞0,函数f(x)＝sin?ωx＋?在?，π?上单调递减,则ω的取值范围是________．
4??2??【分析】根据y＝sinx在?
?π，3π?上递减,列出关于ω的不等式组
?2??2
πωππππ
【解析】 由＜x＜π,ω＞0得,＋＜ωx＋＜ωπ＋,
22444ωπππ
＋≥，??242π3π??又y＝sinx在?，?上递减,所以?2??2π3πωπ＋≤，??42
15
解得≤ω≤.
24
?15?【答案】?，?
?24?
【点评】求函数的单调区间应遵循简单化原则,将解析式先化简,并注意复合函数单调性规律“同增异减”；求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω＞0)的单调区间时,要视“ωx＋φ”为一个整体,通过解不等式求解．但如果ω＜0,那么一定先借助诱导公式将ω化为正数,防止把单调性弄错；已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间,然后利用集合间的关系求解． 【小试牛刀】【2017河北沧州一中11月月考】将函数f?x??2cos2x的图象向右平移
?个单位后得到函数67???a??g?x?的图象,若函数g?x?在区间?0,?和?2a,?上均单调递增,则实数a的取值范围是（ ）
6??3??A．???????????????3??,? B．?,? C.?,? D．?,? ?32??62??63??48?三、根据函数图象的对称性求参数取值范围 【例3】已知函数f(x)?[2sin(x??3)?sinx]cosx?3sin2x．
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(1)若函数y?f(x)的图像关于直线x?a(a?0)对称,求a的最小值; (2)若存在x0?[0,5?],使mf(x0)?2?0成立,求实数m的取值范围. 12【分析】(1)先利用降幂公式进行化简,然后利用辅助角公式将f(x)化为f(x)?2sin(2x?弦函数的对称性求出对称轴,求出a的最小值即可； (2)根据x0?[0,?3),最后根据正
出mm＝x0)?2?0??2的取值范围． ??f(x0)sin(2x?)035??],的范围求出2x0?的范围,再结合正弦函数单调性求出函数f(x0)的值域,从而可求1231
【点评】对于函数y＝Asin(ωx＋φ),其对称轴一定经过图象的最高点或最低点,对称中心一定是函数的零点,因此在判断直线x＝x0或点(x0,0)是不是函数的对称轴或对称中心时,可通过检验f(x0)的值进行判断． 【小试牛刀】（2016全国乙理12）已知函数f(x)?sin(?x??)???0,????ππ?x??,为f(x)的零?42?点,x?π?π5π?为y?f(x)图像的对称轴,且f(x)在?，?上单调,则?的最大值为（ ）. 4?1836?A.11 B.9 C.7 D.5 四、等式或不等式恒成立问题
在等式或不等式恒成立问题中,通常含有参数,而与三角函数相关的恒成立问题,一定要注意三角函数自身的有界性,结合自变量的取值范围,才能准确求出参数的取值或范围.
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【例4】【2017四川遂宁、广安、眉山、内江四高三上学期第一次联考】已知不等式
xxx6????2sincos?6cos2??m≥0对于x???,?恒成立,则实数m的取值范围是（ ）
4442?33?[来源:学科网ZXXK][来源:学,科,网Z,X,X,K]
??2?2?A．??,?2? B． C．??,,2???? D．???2,?? ?22??????【答案】B
【点评】解决恒成立问题的关键是将其进行等价转化,使之转化为函数的最值问题,或者区间上的最值问题,使问题得到解决．具体转化思路为：若不等式f?x??A在区间D上恒成立,则等价于在区间D上f?x?的最小值大于A；若不等式f?x??B在区间D上恒成立,则等价于在区间D上f?x?最大值小于B． 【小试牛刀】【2016届山东师大附中高三上学期二模】设函数f?x?=cosx?asinx?2,若对于任意的实
2数x,都有f?x??5,求实数a的范围． 五、利用三角代换解决范围或最值问题
由于三角函数的有界性,往往可以用它们来替换一些有范围限制的变量,再利用三角函数的公式进行变换,得到新的范围,达到解决问题的目的.
【例5】已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是他们的一个公共点,且?F1PF2?的离心率的倒数之和的最大值为( )
?3,则椭圆和双曲线
A.4323 B. C.3 D.2 33x2y2x2y2【解析】设椭圆方程为2?2?1(a＞b＞0),双曲线方程为2?2?1(a＞0,b＞0),其中a＞a1,半焦距为
aba1bc,于是|PF1|＋|PF2|＝2a,|PF1|－|PF2|＝2a1,
即|PF1|＝a＋a1,|PF2|＝a－a1, 因为?F1PF2??3,由余弦定理：4c＝(a＋a1)＋(a－a1)－2(a＋a1)(a－a1)
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222
即4c＝a＋3a1,即()?3(2
2
2
ac2a12)?4 c令
aa＝2cosθ,31＝2sinθ
cc所以
11aa1243 ????2cos??sin??ee1cc33【点评】合理使用三角代换,可以使得运算步骤(特别是与求最值相关的运算)变得非常简洁. 【小试牛刀】【2016学年安徽省阜阳市三中高二上第一次调研】已知实数x,y满足x2?y2?1,则
?1?xy??1?xy?有（ ）
13和最大值1 B．最小值和最大值1 2413C．最小值和最大值 D．最小值1,无最大值
24A．最小值
迁移运用
π???π?*
1.若函数y＝cos?ωx＋?(ω∈N)图象的一个对称中心是?，0?,则ω的最小值为( )
6???6?A．1 B．2 C．4
D．8
πππ
2.若函数f(x)＝sinωx(ω＞0)在区间[0,]上单调递增,在区间[,]上单调递减,则ω等于( )
33223
A. B. C．2 32
D．3
3.【2017河北省武邑中学高三上学期第三次调研】已知函数f?x??对于?a??m,m?1?,若?b???3sinx?cosx,g?x???x2?4x?3,
???,0?,满足g?a??f?b?,则m的取值范围是（ ） ?3???A．?2?2,2?2? B．?1?2,1?2?
??C.?2?2,1?2? D．?1?2,2?2?
???? n?时4.【2017广东高三上学期阶段测评】函数f?x??sin?x?3cos?x?1的最小正周期为?,当x??m ，,f?x?至少有12个零点,则n?m的最小值为（ ） A．12? B．
7?16? C.6? D． 335.【2017河北省沧州第一中学10月月考】已知函数f(x)?sin(?x??6)?1,x?R,且25
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