全等三角形难题专题（2）
1、如图。ｐ为△ABC的边BC的垂直平分线上的一点，且?PBG?分别交AC、AB于D、E,求证:BE=CD.
2、问题背景，如下命题：
① 如图1,在正三角形ABC中,N为BC边上任一点,CM为正三角形外角∠ACK的平分线,若∠ANM=60°,则AN=NM
② 如图2,在正方形ABCD中,N为BC边上任一点，CM为正方形外角∠DCK的平分线，若∠ANM=90°，则AN=NM
③ 如图3,在正五边形ABCDE中,N为BC边上任一点,CM为正五边形外角∠DCK的平分线,若∠ANM=108°,则AN=NM
BNCKB图1
任务要求：
⑴ 请你证明以上三个命题；
N图2CKBN图3CEAMADAMDMK12?A,BP、CP的延长线
⑵ 请你继续完成下面的探索：
① 如图4,在正n（n≥3）边形ABCDEF…中,N为BC边上任一点,CM为正n边形外角∠DCK的平分线,问当∠ANM等于多少度时,结论AN=NM成立（不要求证明）.
② 如图5,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=BC=CD,N为BC延长线上一点,CM为∠DCN的
平分线,若∠ANM=∠ABC,请问AN=NM是否还成立？若成立,请给予证明；若不成立,
请说明理由.
FEAABDB图5DMNC图4KCN
3、若D为等腰直角三角形ABC的BC边上任一点，且DE⊥AD,BE⊥AB.
A （1）求证：△ADE为等腰RT△.
C D
M E B
（2）如图，当D在CB上任意运动时，若BC=a,过B作BM⊥BC交AE于M，现给二个结论：①∠BMD的度数不变；②BD﹢BM﹢DM值不变。其中有且只有一个结论是正确的，请你判断哪
A 一个结论正确，证明正确的结论，并求出其值。
M E
C B D
4、如图，已知A（0，1），B（1，0），AB=BC，A和D关于x轴对称，P为CA延长线上一动点，PE⊥CD于E，PF⊥x轴于F，求证：PF=
F G O D E B C X 12P CG Y A
5、如图A（0，2），B（﹣2，0）P为x轴上B点左边一动点，过P作PC⊥PA,且PC=PA，连CB交Y轴于D，求D点的坐标。 y
P B O x C A D 6、如图，AF平分∠BAC，P是AF上任一点，过P向AB、AC作垂线PD、PE，D、E分别为垂足，连结DE，求证：AF垂直平分DE。
E C P A D
F
B
7、如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，FE垂直平分AD，E为垂足，EF交BC的延长线于F，求证：∠CAF＝∠B
B A E F
D C
8、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°E为AB的中点，且DE⊥AB于F，∠CAD︰∠BAD＝1︰2，试求∠B和∠BAC的度数。
A
C E B
9、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC延长线上一点，BD的垂直平分线交AB于P，PD交AC于E，求证：点P也在AE的垂直平分线上。
B
10、如图，在△ABC中，∠B＝22.5°，边AB的中垂线DH交BC于D，DF⊥AC于F，
A 并与BC边上的高AE交于G，求证：EG＝EC。
H
F C F P E C D A
D G
B
E D
11、如图，在△ABC中，∠BAC＝72°，∠B＝68度，AB、AC的垂直平分线分别交BC
A 于D、E，求∠EAD的度数。
B G F
12、如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，CD＝AB＋BD，∠B的平分线交AC于点E，求证：点E恰好在BC的垂直平分线上。
A E C
E D C
B D
13、如图，在等边△ABC中，AE＝CD，AD、BE交于点P，BQ⊥AD于Q，求证：BP＝
A 2PQ
14、如图，已知△ABC中，AB＝AC，F在AC上，在BA的延长线上取AE＝AF，求证EF⊥BC（用多种方法）
B D
15、已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，D是AB的中点，E是BC上任一点，EP⊥CB，PF⊥AC，E、F为垂足，求证：△DEF是等腰三角形。
A C
A E B P E Q D
C
F
B D
16、如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝80°，O为△ABC内一点，若∠OAB＝10°，∠ABO＝30°，求∠ACO的度数（作∠CAO的平分线交BO的延长线于P，连CP，利用全等与等腰即可求得∠AOC等于70°）
C P O E C
A
17、如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，∠B的平分线交AC于D，求证：AD＋BD＝BC
B 18、如图，已知△ABC中，BC＝AC，∠C＝90°，∠A的平分线交BC于D，求证：AC＋CD＝AB C
A B
D C
D A B
19、若D为等腰Rt△ABC的边BC上一点，且DE⊥AD，BE⊥AB，
（1）求证：△ADE为等腰Rt△；
（2）如图，当D在CB上任意运动时，若BC＝a，过B作BM⊥BC交AE于M，现给两个结论，①∠BMD的度数不变；②BD＋BM＋DM值不变，其中有且只有一个结论是正确的，请你判断哪一个结论正确，证明正确的结论，并求其值。
F A A
M
E
C C D
B
D B
E
20、已知在平面直角坐标系中，AB∥x轴，A、B两点关于y轴对称，A（3，7）
（1）求直线OB的解析式； （2）没点D是OB延长线上任意一点，C点是OA上一点，且AC＝BD，CD交AB于点P，CE⊥AB于E，求PE的长。
（3）已知点F是OA上一动点，过F点作MN∥OB，分别交x轴、y轴于点N、M，当F
FM在直线上运动时，则下列结论：①︱FM＋FN︱的值不变；②的值不变，其中有且只有
FN一个正确，请选择出来，并证明你的结论。
D y y y A B A B B
M C
F x x x A O O O N
21、已知，如图，等边△ABC，AB＝6㎝，点M从点B开始沿BA边向点A以1㎝/秒的速度运动，点N从点C开始沿AC的延长线以1㎝/秒的速度运动，M、N分别从B、C同时出发，当点M到达端点A时，停止运动。
（1）设线段MN与线段BC交于点P，试判断点P与线段MN的位置关系，并证明你的结论。 （2）当M、N运动几秒时，△AMN为直角三角形？
（3）过点P作MN的垂线交∠BAC的平分线AD于Q点，在M、N两点的运动过程中，给出下列两个结论：①Q点为AD上的一个定点；②线段PQ的长度不变，其中有且只有一个结论是正确的，请你判断哪一个结论是正确的，证明正确的结论并求出其值。
A A
M B P C N
B Q M P
C N
D