例2.15 已知系统信号流图，求传递函数。 解：三个回路：
-H1L1??G2H2-G3RG1-G22CL2?G1G2H2L3??G2G3H1-H -H -G 2
4?回路相互均接触，则：
?前向通路有两条： ，没有与之不接触的回路： ?1?1P1?G1G2G3，与所有回路不接触： ???P2?G42 G(s)?1?n??1??La?1?G2H2?G2G3H1?G1G2H2?k?1Pk?k?G1G2G31?G2H2?G2G3H1?G1G2H2?G4
例2.16 已知系统信号流图，求传递函数 X4/X1及 X2/X1。 解：三个回路
?La??d?eg?bcg有两个互不接触回路
?LbLc?deg
则????????1?d?eg?bcg?deg1.????X1?X4,p1?aef,p2?abcf???????1?1?d,?2?1f
X4X1?1?(p1?1?p2?2)?aef(1?d)?abcf1?d?eg?bcg?deg2.???X1?X2,p1?a,?1?1?dX2X1?1?p1?1?a(1?d)1?d?eg?bcg?deg典型
例3.1 已知单位反馈系统的开环传递函数为
(a)Ga(s)?K(s?1)s(s?1)(s?5)
(b)Gb(s)?11.25(s?0.5)(s?1)(s?2)
试确定系统的稳定性或求系统稳时K的取值范围。
解 （1）系统(a)的K的稳定域
解法一（应用赫尔维茨判据） 由1+Ga (s)=0,可得系统(a)的特征方程为
应用赫尔维茨判据则可求得系统稳定的充要条件为
K?5?0K?0??K?D?4?3K?20?0?21K?5??K?5即??K?20/3s?4s?(K?5)s?K?032故K的稳定域为K＞20／3。
解法二（应用劳斯判据） 由特征方程可构造劳斯阵列如下：
ssss321
143K?204KK?5K0
要使系统稳定，其第一列的元素必须全为正。同样也可以求得K的稳定域为K＞20／3。
(2)系统(b)的稳定性
解法一（应用赫尔维茨判据） 由1+Ga (s)=0,可得系统(b)的特征方程为
由于特征方程的系数全为正的，而
D2?
s?3.5s?3.5s?12.25?0
3.5112.253.532?0故可判断该闭环系统是不稳定的。
解法二（应用劳斯判据） 由特征方程可构造劳斯表如下：
ssss32
13.5(0)712.253.512.25?辅助方程A(s)?3.5s?12.25?0?dA(s)/ds?7s21
可见其第一列的元素不变号，故系统没有极点在右半开平面上。而由辅助方程A(s)?3.5s?12.25?0(或s?3.5?0) 可解得系统有一对纯虚根p1，2=±j1.87。于是应用长除法由系统的特征方程
s?3.5s?3.5s?12.25?(s?p1)(s?p2)(s?p3)?(s?3.5)(s?p3)?0
322022则可求得另一个系统极点为p3=-3.5。因此可判断该系统为临界稳定的。 讨论 由例题结果可见：（1）系统的开环稳定性和闭环稳定性是两回事，它们之间没有必然的联系。开环稳定的（如系统（b））其闭环未必稳定；开环不稳定的（如系统（a））其闭环不见得不稳定。所谓系统稳定性，指的是闭环的稳定性。从工程上着眼，为使系统易于控制和调试，通常希望系统的开环应是稳定的。（2）从判断系统的稳定性以及确定稳定裕度和参数的稳定域而言，赫尔维茨判据和劳斯判据是等效的。然而劳斯判据还可用来确定极点在左右两半平面上的分布情况，而且运算较为简便，故在实际中得到了较为广泛的应用。
例3.2 设单位反馈系统的开环传递函数为
G(s)?K(s?1)s(Ts?1)(2s?1)试确定参数K和T稳定域。
解 由1+G(s)=0可得系统的特征方程为
2Ts32
?(T?2)s?(1?K)s?K?0于是可构造劳斯如下：
ssss321
1?KK2TT?2T?2?K(T?2)T?2K7 6 5 4 3 2 1 系统稳定域 T ? 2 K ? T -2
根据劳斯判据，要使系统稳定其劳斯表的第一列元素必须全为正的，即T＞0, K＞0,T+2-K(T-2)＞0
故系统稳定时参数K和T的取值范围为
0?K?T?2T?2T?20
相应的K和T的稳定域，如图3.2所示。
图3.2 系统K和T的稳定域
例3.3 控制系统的结构图，如图A3.2所示。
若系统以频率w=2rad/s持续振荡，试确定相应的参数K和 的值。
R(s) Y(s) 解 由结构图可得系统的特征方程为 K(s?1)32 32s??s?2s?1 (-) s??s?(2?K)s?1?K?0
于是可构造劳斯表如下：
T ssss321 0 1 2 3 4 5 6 7 8 12?K1?K1?K图3.3 控制系统结构图
?2?K??
根据题意，闭环系统存在一对共轭纯虚根p1，2=±j2。这意味着劳斯表的 行全
2为零元素，即2?K?(1?K)/??0。由辅助方程A(s)??s?1?K?0解得一队共
01?K轭纯虚根p1,2??j(1?K)/???j2。
?2?K?(1?K)/??0?(1?K)/??2 联立求解下列方程组?
则可求得系统产生w=2rad/s的持续振荡时，参数K和?的取值为
??0.75
例3.4 某液位控制系统的结构图，如图3.4(a)所示。图中hr为给定液面高度，h为实际液位，q1为进水流量，q2为用水流量。试判断系统的稳定性，并讨论使系统稳定的可能措施。
K?2
hr q2 q1 (-) K2h hr Km? Kp u K1 (-) s(Tms?1)s (-) 水箱 伺服电动机 K3 (a) 图3.4 液位控制系统结构图 解 由结构图可得系统的特征方程为
?s+1 Ks(Tms?1)2h (b)
式中K= KpKmK1K2为系统的开环增益。
分析上式可以看到：特征方程s1项，不满足各项系数均大于零的必要条件，故系统不稳定，而且无论如何调整系统参数Tm和K的大小均无法使系统稳定。这种并非参数设置不当而是由于系统结构所造成的不稳定系统，叫做结构性不稳定系统。要使这类系统稳定，必须改变原系统的结构。由3.7节可知，改善系统特性使闭环稳定有两种可行方案：
（1） 引入比例微分（PD）控制 在原系统的受控对象前引入PD控制器Gc(s)??s?1，其结构图如图3.4(b)所示。由图可得，引入PD控制后系统的特征方程变成为
s(Tms?1)?K(?s?1)?Tms?s?K?s?K?0232s(Tms?1)?K?Tms?s?K?0
232
它已经不缺项，根据劳斯判据可求得系统稳定的充要条件为??Tm。可见只要适当调整参数使??Tm，便可确保闭环系统为稳定的。
（2） 引入局部负反馈回路
在受控系统或其部分环节的两端用局部负反馈回路包围它，以改善系统的特性使之稳定。现以图 A3.3(a)虚线所示的局部负反馈回路为例，说明如下。当伺服电动机两端用比例反馈回路包围后，其等效传递函数为
?(s)U(s)?Km/[s(Tms?1)]1?KmK3/[s(Tms?1)]3?Kms(Tms?1)?KmK3
于是由1+Gk(s)=0可得结构改变后系统的特征方程为
2
它已经不缺项，应用劳斯判据可求得系统稳定的充要条件为K3＞TmKpK1K2。因此只要调整参数使条件成立，则可确保该闭环系统稳定。
例3.5 假设温度计放置在oC的恒温箱内，其传递函数为G(s)=1/(Ts+1)。现用温度计测量盛在容器内的水温，需要1分钟才能指示出实际水温的98%。试问：（1）该温度计的时间常数 T以及指示出实际水温的10%变化至90%所需的时间各为多少？（2）如果给容器加热，使水温以10oC/min的速度匀速上升，温度计的稳态指示误差有多大？
解 （1） 温度计的时间常数和系统暂态响应的上升时间为
Y(s)?G(s)R(s)?1Ts?1s?1?1s?TTs?1
s[s(Tms?1)?KmK3]?K?Tms?s?KmK3s?K?0或
当t=60s时y(t)=0.98。将此值代入上式，则可求得温度计的时间常数为
T?60/In50?15.34s
由3.5.2小节可知：温度计指示出实际水温的10%变化至90%所需的时间，即为测温系统暂态响应的上升时间，其值为tr=2.2T=33.75s （2）温度计的稳态指示误差
温度计测温系统可视为等效的单位反馈系统，其结构图如图3.44所示。由闭环传递函数G(s)=1/(Ts+1)可知，a0 =b0=1。故系统为Ⅰ型，相应的Kv=K=1/T。而由题意可知r(t)=10t/60=t/6(oC /s)，于是可求得温度计的稳态指示误差为
例3.6 设系统的结构图如图3.6所示，其中受控对象的传递函数为
R(s) K1 G(s) Y(s) y(t)??[Y(s)]?1?e?1?t/Tesr?1/6Kv?T6?2.56C?G(s)?100.2s?1
(-) K2 图3.6 系统结构图
现拟采用负反馈的办法将调节时间减少到原来的1/10，而增益保持不变。试确定系统参数K1和K2的值。
?ex(s)?10(0.2/10)s?1
解 根据题意，系统的期望闭环传递函数为而由结构图可得，系统的实际闭环传递函数为
?(s)?K1G(s)1?K2G(s)?10K0.2s?1?10K2?10K1(1?10K2)0.2s/(1?10K2)?1
?10K1/(1?10K2)?10?1?10K2?10令?(t) =?ex(s),比较方程两边s的同幂次项系数，于是有?
联立求解，则可求得系统参数的值为K1=10 K2=0.9。
例3.7 设控制系统的结构图如图3.7所示，其输入信号为单位斜坡函数（即r(t)=t）。要求：（1）当 和K1=1时，计算系统的暂态性能（超调量?p和调节时间ts）以及稳态误差；（2）若要求系统的单位阶跃响应的超调量?p=16.3%，峰值时间tp=1s，求参数K1和?的值，以及这时系统的跟踪稳态误差；（3）若要求超调量?p=16.3%和当输入信号以1.5度/秒匀速变化时跟踪稳态误差esr=0.1度，系统参数K1和?的值应该如何调整？
R(s) Y(s) 10 K1 (-) (-) s(s?1) τs 图3.7 系统结构图
解 由结构图可知，系统的开、闭环传递函数为