高三第一轮复习数学---平面向量的数量积
一、学习目标：掌握平面向量的数量积及其性质和运算率，掌握两向量夹角及两向量垂直的充要
条件和向量数量积的简单运用．
二、学习重点：平面向量的数量积及其几何意义，向量垂直的充要条件。利用平面向量的数量积处理有关长度、角度和垂直的问题。
三、学习过程：
（一）主要知识：
（1）平面向量的数量积的定义
①向量a,b，的夹角：已知两个非零向量a,b，过O点作OA?a，OB?b,≤θ≤180）叫做向量a,b，的夹角。
当__________________________________时，θ=0，当____________________________时θ=180，同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题。
②a与b垂直；如果a,b________________________则称a与b垂直，记作_______________。 ③a与b的数量积：两个非零向量a,b，它们的夹角为θ，则______________________叫做称a与b的数量积（或内积），记作__________，即a?b=a?b?cos?
规定0?a=0 非零向量a与b 当且仅当_______________________________，时a?b=0。 ④
0
0
0
则∠AOB=θ（0
0
③
④ ⑤
(3)平面向量数量积的运算律
①交换律成立： ______________________________________
②对实数的结合律成立：____________________________________
③分配律成立：_______________________________________________ 特别注意：（1）结合律不成立：a?b?c?a?b?c；（2）消去律不成立a?b?a?c（3）a?b=0不能
????2不能得到b?c?a=0或b=0
④但是乘法公式成立： a?b?a?b?a?b?a?b；a?b????222??2?a?2a?b?b
22?a?2a?b?b；等等。
（3）平面向量数量积的坐标表示
①若a=(x1,y1),b=(x2,y2)则a?b=________________________________ ②若a=(x,y),则|a|=a.a=x+y,a?2
2
222x2?y2
b在
a方向上的投影：
b b P a P OP?bcos?(?a?ba)?R（注意OP是射影）
o ? o
? a ????③若A(x1,y1),B(x2,y2),则AB?_______________________________________
??④若a=(x1,y1),b=(x2,y2)则a?b?____________________________
所以，a?b的几何意义：a?b等于a的长度与b在
a//b?_______________________________
⑤若a=(x1,y1),b=(x2,y2)则cos??______________________________________ （二）例题分析：
例1、 已知两单位向量a与b的夹角为120，若c?2a?b,d?3b?a，试求c与d的夹角。
第 1 页 共 3 页
0a方向上的投影的乘积。
注：向量中投影可正可负，而射影只能为正。 （2）平面向量数量积的性质
设a,b是两个非零向量，e是单位向量，于是有： ① ②
例2．已知a??4,3?，b???1,2?，m?a??b,n?2a?b，按下列条件求实数?的值。 （1）m?n；（2）m//n;(3)m?n
点评：
例3．（1）已知b?4,a?b??24，求a在b方向上的投影。
（2）三角形ABC中,A(5,-1),B(-1,7),C(1,2).求角B的大小.
（3）已知a=（2，3），b=（-1，-2），c=（2，1），试求a?(b?c)和a?b?c的值。
例4．非零向量a,b满足a?b?a?b，求a与b所成角的大小。
【思维点拨】
??例6．设a=（1+cosα，sinα），b=（1-cosβ，sinβ），c=（1，0） α∈（0，π），β∈（π，2π），a与c的夹角为θ1，b与c的夹角为θ2，且
（4）已知i,j为互相垂直的单位向来，a?i?2j,b?i??j，且a与b的夹角为锐角，求实数?的取值范围。
θ1-θ2=
????，求sin的值。
46〖思维点拨〗。
第 2 页 共 3 页
3x3x?xx??????例7．已知向量a??cos,sin?,b??cos,?sin?,且x??0,?
22?22????2?求（1）a?b及a?b；（2）若f?x??a?b?2?a?b的最小值是?
???1．已知平面上三个向量a、b、c的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°，
??????（1）求证：(a?b)⊥c；（2）若|ka?b?c|?1(k?R)，求k的取值范围.
2．已知：a 、b、c是同一平面内的三个向量，其中a =（1，2） （1）若|c|?25，且c//a，求c的坐标； （2）若|b|=
（四）巩固练习：
3，求?的值。 25,且a?2b与2a?b垂直，求a与b的夹角?. 2
四、小结：
第 3 页 共 3 页